A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy az háromszög kerülete akkor a legnagyobb, ha az hatszög -vel párhuzamos oldalának valamelyik végpontjában van. Mivel az oldal rögzített, elég az összeget vizsgálnunk; azt akarjuk tehát megmutatni, hogy és egyenlőség csak akkor van, ha az , pontok egyikével azonos. A szimmetria miatt elég azokra a pontokra szorítkozni, amelyek a idom -re merőleges tengelyének -t tartalmazó partján, vagy a tengelyen vannak. Megoldásunk során a pontot tetszőleges helyzetből kiindulva alkalmas mozgatással átvisszük az pontba úgy, hogy közben az összeg fokozatosan növekedjék (ill. sohase csökkenjen). Legyen a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes, és messe ez a törött vonalat a pontban. A pontot előbb mentén -be, majd a törött vonal mentén -be mozgatjuk el. Tükrözzük az , pontokat -re, kapjuk rendre a , pontokat.
Az négyszögnek és szimmetriatengelye, e négyszög tehát téglalap, és az átló átmegy a tengelyek metszéspontján. Mivel a szakaszon van, az egyenes metszi az háromszög oldalát, legyen e metszéspont . Ha az szakasz belső pontja, az , háromszögekre felírt háromszög-egyenlőtlenségek alapján
Ha azonos az ponttal, akkor az első egyenlőtlenség helyett egyenlőség áll, de a második egyenlőtlenség érvényes; ha pedig a ponttal azonos ‐ azaz és azonosak ‐, akkor mindkét egyenlőtlenség helyén egyenlőség áll. A tükrözés miatt , , így ahol egyenlőség csak akkor áll, ha és azonosak. Mivel a köré írható kör átmérője, , és egyenlőség csak mellett áll. Az háromszögben -nél tompaszög van, hiszen ez a szög nagyobb a -os -nél; így , ha nem azonos -vel. Ezek alapján ahol egyenlőség csak akkor van, ha és azonosak. (2) és (3) együtt a bizonyítandó (1) egyenlőtlenséget adja, állításunk bizonyítását befejeztük. |