Kezdőlap


Feladat:	1158. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Mária , Mészáros Imre
Füzet:	1968/szeptember, 25 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Súlyvonal, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1158. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A szokásos idő ‐ út $(t, s)$ koordináta-rendszer $O$ origójának azt a pontot választjuk, amelyik az $S z$ személyvonat $A$ -ból történő elindulását ábrázolja. (Más szóval: az időt a személyvonat indulásától, a távolságokat $A$ -tól mérjük.)

S z

tervezett mozgásának grafikonját, az

O C

egyenesszakaszt megrajzolhatjuk, határozatlanul hagyva egyelőre, hogy mekkorák az egységek az egyes tengelyeken. Ekkor

C

abszcisszája a

T

menetidő, ordinátája az

A B = d

távolság. Ugyanígy a

G y

gyorsvonat mozgásának grafikonja a

D C

szakasz, ahol

D

O T

szakasz felezőpontja, hiszen

G y

sebessége kétszer akkora, mint

S z

-é, ezért a

d

út megtételéhez

T / 2

időre van szüksége, és így a

B

-beli utoléréshez a

T / 2

időpontban kell indulnia.

S z

grafikonjából csak az az

O H

szakasz valósult meg, amely az

A B

szakasz második harmadoló pontján,

E

-n át a

t

-tengellyel húzott

h

párhuzamos alatt van. A

H

hibahelytől számítva a fél-sebesség miatt a

H F

szakasz ábrázolja

S z

mozgását, amelynek meredeksége fele akkora, mint

H C

, azaz

O C

meredeksége. Ezt pl. úgy szerkeszthetjük meg, hogy megfelezzük a

C T

-nek

h

fölötti

G C

szakaszát a

J

ponttal és a

H J

egyenest a

B C

-vel való metszéspontig rajzoljuk ki. (Az ábra szaggatott vonalaival egy másik lehetőséget vázoltunk.)

S z

és

G y

találkozásának az

O H F

és

D C

grafikonok

K

közös pontja felel meg, ezt

t

-vel párhuzamosan az

s

tengelyre vetítve kapjuk az

A B

pálya megfelelő pontját, az utolérés

U

helyét. Így az

U B

szakasz

27 1 / 9 = 244 / 9 km

-nek felel meg. Ennek alapján már meghatározhatjuk közelítőleg a

d

távolságot, megmérve az

A B

és

U B

szakaszokat, a

\begin{matrix} d : 244 / 9 = A B : U B \end{matrix}

aránypárból. Ábránkon

A B = 60 mm

U B = 13, 5 mm

, így

d \approx 121 km

. (Az eredmény pontossága a grafikon méreteitől és a mérések pontosságától függ.)

b)

Pontos eredményt is kaphatunk

d

-re pl. abból az észrevételből, hogy

K

H G C

háromszög súlypontja, így

H G

fölötti

E U

magassága 1/3 része a

C

pont

E B

magasságának, ezért

U B = E B \cdot 2 / 3

, továbbá

E B = A B / 3

miatt

U B = d \cdot 2 / 9

. Ebből

d = 122 km

. Valóban,

H J

szerkesztésünk szerint súlyvonala a

H G C

háromszögnek, s ugyanígy

C D

-nek e háromszögbe eső szakasza is, ugyanis

C D

felezi

A T

-t, tehát

H G

-t is, mert ez az

A T

-nek 1/3-ra kicsinyített képe a

C

középpontból.
Horváth Mária (Hódmezővásárhely, Liszt F. ének-zenei Ált. Isk., 7. o.)

Mészáros Imre (Budapest, Piarista gimn. II. o. t.)