Kezdőlap


Feladat:	1157. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fodor Péter
Füzet:	1968/október, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1157. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. a) Az első kifejezés értelmezve van a valós számok körében, ha $y$ bármilyen pozitív, negatív szám, vagy 0, továbbá $x ≧ y^{2}$ . Így ugyanis a nagy négyzetgyökjelek alatt álló számok sem negatívok, hiszen mindegyik egy‐egy valós szám négyzete:

\begin{matrix} x \pm 2 y \sqrt[]{x - y^{2}} = (x - y^{2}) \pm 2 y \sqrt[]{x - y^{2}} + y^{2} = {(y \pm \sqrt[]{x - y^{2}})}^{2} . \end{matrix}

Ennélfogva kifejezésünk így írható:

\begin{matrix} K = | y + \sqrt[]{x - y^{2}} | + | y - \sqrt[]{x - y^{2}} | . \end{matrix}

Észrevesszük azt is, hogy

y

helyére

- y

-t írva

K

értéke változatlan marad, hiszen csupán fölcserélődik két tagjának értéke; más szóval:

K

csupán

| y |

-étől függ. Mármost

| y |

és

\sqrt[]{x - y^{2}}

nagyságviszonya szerint

K

értéke kétféleképpen alakulhat:

\begin{matrix} I. ha \sqrt[]{x - y^{2}} ≦ | y |, azaz ha x ≦ 2 y^{2} (és x ≧ y^{2}), akkor \\ K = (| y | + \sqrt[]{x - y^{2}}) + (| y | - \sqrt[]{x - y^{2}}) = 2 \cdot | y |; \end{matrix}

ha pedig

\begin{matrix} II. | y | < \sqrt[]{x - y^{2}}, azaz ha x > 2 y^{2}, akkor \\ K = (| y | + \sqrt[]{x - y^{2}}) + (\sqrt[]{x - y^{2}} - | y |) = 2 \sqrt[]{x - y^{2}} . \end{matrix}

Más szóval

K

| y |

és

\sqrt[]{(x - y^{2}}

kifejezések nagyobbikának 2-szeresével egyenlő.

b) A második kifejezés minden (valós)

x

y

z

szám esetén értelmezve van. Az

N

nevező négyzetét kifejtve

\begin{matrix} N^{2} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) (1 + z^{2}) = 1 + (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2}) + x^{2} y^{2} z^{2} . \end{matrix}

A két zárójeles kifejezés a föltevés alapján így alakítható át:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x + y + z)}^{2} - 2 (x y + y z + z x) = {(x + y + z)}^{2} - 2, \\ x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2} = {(x y + y z + z x)}^{2} - 2 (x y^{2} z + x y z^{2} + x^{2} y z) = 1 - 2 x y z (x + y + z), \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} N^{2} = {(x + y + z)}^{2} - 2 x y z (x + y + z) + x^{2} y^{2} z^{2} = {(x + y + z - x y z)}^{2}, \\ L = \frac{2 x y z}{| x + y + z - x y z |} . \end{matrix}

Fodor Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)

II. megoldás

a

b) kifejezésre. Célhoz érhetünk úgy is, hogy a feltételi összefüggésből az egyik változót kifejezzük és

L

-be helyettesítjük; pl.

\begin{matrix} z = \frac{1 - x y}{x + y} . \end{matrix}

(1)

Itt a nevező nem lehet 0, azaz

y \neq - x

, mert különben a feltevés szerint

- x^{2} = 1

kellene hogy legyen, ami pedig lehetetlen. (1) alapján

\begin{matrix} 1 + z^{2} = \frac{{(x + y)}^{2} + {(1 - x y)}^{2}}{{(x + y)}^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2} y^{2}}{{(x + y)}^{2}} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{{(x + y)}^{2}}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} L = \frac{2 x y (1 - x y)}{(x + y) \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{| x + y |}} = ε \cdot \frac{2 x y (1 - x y)}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}, \\ x + y \neq 0, \end{matrix}

ahol

ε = 1

vagy

- 1

aszerint, hogy

x + y

pozitív vagy negatív.

Megjegyzések. 1. Meg lehet mutatni, hogy a b) részben

x + z

és

y + z

ugyanolyan előjelű, mint

x + y

.
2. Az előjel meggondolásának szükségessége abból is adódik, hogy a feltevés az

x

y

z

számhármassal együtt a

- x

- y

- z

számhármasra is teljesül, viszont

L

értéke ugyanezzel a helyettesítéssel a

- 1

-szeresére változik.