Kezdőlap


Feladat:	1156. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/május, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Gyakorlat, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 1156. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az, hogy egy szám utolsó $k$ számjegye csupa $j$ (a $10$ -es számrendszerben), azt jelenti, hogy a szám $N = A \cdot 10^{k} + j \cdot {11 ... 1}_{}^{⌣_{}^{k}}$ alakú, ahol $A$ nem-negatív egész szám. Azt vizsgáljuk tehát, milyen $k$ értékekre állhat fenn

\begin{matrix} 2^{n} = A \cdot 10^{k} + j \cdot {11 ... 1}_{}^{⌣_{}^{k}} \end{matrix}

alakú egyenlőség.
Ha

k

legalább

4

, akkor

n \geq 10

, mert

2^{9}

még csak

3

-jegyű. Így a bal oldal is, a jobb első tagja is osztható

2^{4} = 16

-tal, tehát az utolsó tag is. Mivel a második tényező páratlan, az első pedig kisebb

10

-nél, így ez csak

j = 0

-ra következnék be, azonban

2^{n}

nem végződhet

0

-ra, mert akkor osztható volna

5

-tel.
Hasonló meggondolással

k = 3

-ra

j

csak

8

lehet,

k = 2

-re pedig

4

vagy

8

.
II. Keressük meg

2

-nek a

8

-ra végződő hatványait, azok közt a

88

-ra, majd

888

-ra végződő hatványokat. Két hatvány,

2^{l}

és

2^{l + m}

akkor egyezik meg utolsó

k

jegyében, ha különbségük,

2^{l + m} - 2^{l} = 2^{l} (2^{m} - 1) k

darab

0

-ra végződik, azaz osztható

10^{k} = 2^{k} \cdot 5^{k}

-nal. Ez akkor következik be, ha

l

legalább

k

, és

2^{m} - 1

osztható

5^{k}

-nal.

k = l

-re

m = 4

a legkisebb ilyen kitevő, vagyis

2

hatványainak utolsó jegye négyesével ismétlődik. Ezért

k = 2

-re is

m = 4 m'

alakú, ennélfogva

2^{m} - 1 = 2^{4 m'} - 1 = (2^{4} - 1) (2^{4 (m' - 1)} + 2^{4 (m' - 2)} + ... + 2^{4} + 1) = (2^{4} - 1) [(2^{4 (m' - 1)} - 1) + (2^{4 (m' - 2)} - 1) + ... + (2^{4} - 1) + m']

. Itt az első tényező

15

, a másodikban is mindegyik különbség osztható

15

-tel, ez a tényező tehát akkor osztható

5

-tel, s igy a szorzat

25

-tel, ha

m'

osztható

5

-tel. Eszerint

2

-nek minden

20

-adik hatványa végződik ugyanarra a két jegyre (

2^{2}

-től kezdve).
Kiindulva

2^{3} = 8 = 08

-ból, vizsgáljuk a

8

-ra végződő hatványok ‐ tehát minden negyedik ‐ utolsó két jegyét. Ehhez elég az utolsó

2

jeggyel írt szám

2^{4} = 16

-szorosának az utolsó két jegyét vizsgálni, hiszen természetes számokszorzatának utolsó két jegye megegyezik a tényezőik utolsó két jegyével írt számok szorzatának utolsó két jegyével. Hasonló érvényes az utolsó

3

jegyre is.

\begin{matrix} k & 3 & 7 & 11 & 15 & 19 \\ 2^{k}utolsó két jegye & 08 & 28 & 48 & 68 & 88 \end{matrix}

Tehát

2^{19} = 524 288

a legkisebb,

88

-ra végződő hatványa

2

-nek és innen minden

20

-adik hatvány végződik

88

-ra. Ezek közt keressük a

888

-ra végződőket. Ehhez előbbi megjegyzésünk szerint elegendő a számok

3

-jegyű végződésének

2^{20} 3

-jegyű végződésével való szorzatában az utolsó

3

jegyet vizsgálni.

2^{20} = {(2^{10})}^{2} = 1024^{2}

, így

2^{20}

végződése ugyanaz, mint

24^{2}

végződése, vagyis

576

. Az előbbiekhez hasonlóan

\begin{matrix} k & 19 & 39 \\ 2^{k}utolsó három jegye & 288 & 888, \end{matrix}

tehát

2

-nek az a legkisebb hatványa, amelyik három

8

-asra végződik,

2^{39}

(

= 549 755 813 888

Megjegyzés. Könnyű a fentiekhez hasonlóan belátni, hogy tovább minden

100

-adik hatvány végződik

888

-ra, tehát

2^{139}, 2^{239}, ...