Feladat: 1154. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Katona Judit 
Füzet: 1968/április, 172 - 173. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egész számok összege, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/november: 1154. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Állapítsuk meg az összeget a 999999 szám leírása után. Gondolhatjuk, hogy a számokat egy sorszámozógép írta le, amely még az egyjegyű számokat is hatjegyűnek írja elöl mellőzhető zérusjegyekkel ‐ hiszen a 0-ok hozzáadása az összeget nem változtatja meg ‐, továbbá ugyanezért azt is, hogy a gép a 000000 számot is leírta.
Így a leírt számok száma 106, a jegyeké 6⋅106, és a gép mind a 10-féle jegyet mind a 6-féle helyi értékben (a százezresek, tízezresek, ..., egyesek helyén) ugyanannyiszor ütötte le, vagyis 105-szer, tehát az összeg eddig 6⋅105(0+1+ +2+...+8+9)=27⋅106.
Továbblépve 1001999 leírásáig, 2⋅103 db 1-es jegyet írunk a milliós oszlopba és 103 db 1-est az ezres oszlopba, továbbá kétszer leírjuk a számokat 000-tól 999-ig (a többi leírt számjegy 0). Az utóbbiak jegyeinek összege a fentihez hasonló meggondolással

2⋅3⋅102(0+1+...+9)=27⋅103,
itt tehát 3⋅104 a jegyek összege.
Végül a hátra levő 4 számban az összeg 3+4+5+6=18, tehát a keresett összeg 27030018.
 

Katona Judit (Budapest, Kaffka M. gimn. I. o. t.)
Ágoston Péter (Budapest, Berzsenyi D. gimn. I. o. t.)
 

Megjegyzés. A teljes milliós, ill. ezres sorozatban a jegyek összegét úgy is megkaphatjuk, hogy az elölről és hátulról ugyanannyiadik számokat egy-egy párba kapcsoljuk. Pl. a hatjegyűeket így:
000000és999999,000001és999998,...,499999és500000.
Ekkor ugyanis a párok jegyeinek összege mindegyik helyi értékben 9, tehát a jegyek összege minden párban 6⋅9=54. Másrészt a párok száma fél millió, tehát a leírt 6 millió jegy összege 27 millió.
 

II. megoldás. A jegyek összegét helyi értékenként állapítjuk meg, ismét eléje írjuk számainknak a 0-t. A leírt 1002004 szám 100200 olyan teljes 10-tagú sorozatot alkot, melyben egymás után 0,1,2,...,9 áll, így az egyes helyi értékben az összeg:
100200(0+1+...+9)+(0+1+2+3)=4509006.

Hasonlóan a tízes és a százas helyi értékben mindig 10‐10, ill. 100‐100 egyenlő jegy áll egymás után, de 1001999-ig mindegyik jegy ugyanannyiszor lép fel, így az összeg, miután a sorozatok száma 10020:
10020⋅10(0+1+...+9)+4⋅0=4509000,ill.1002⋅100(0+1+...+9)+4⋅0=4509000.

Az ezres, majd a milliós helyi értékben az 1-es jegy többször lép fel, mint a többiek továbbá a 0 is a 104-es és 105-es helyi értékben, rendre
100⋅1000(0+1+...+9)+1000(0+1)+4⋅2=450100810⋅10000(0+1+...+9)+2004⋅0+1)+4⋅2=4500000100000(0+1+...+9)+2004⋅0+1)+4⋅2=4500000(0+1+...+9)+2004⋅1+1)+4⋅2=4502004

Így az oszlopösszegek összege 27030018.