Feladat: 1150. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Korecz László ,  Páhán Katalin ,  Szabó Éva 
Füzet: 1968/május, 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat, Háromszögek szerkesztése
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/október: 1150. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ötszög ABC rész-háromszöge közvetlenül adódik: az α szög száraira fölmérjük a BA=a, BC=b szakaszt, ekkor AC az ötszög átlója. A rész-háromszög tetszés szerinti α, a, b adathármas esetén létrejön.

 

 

Így szerkeszthetővé vált a D csúcs az ACD rész-háromszög AC és CD oldalának, valamint az utóbbival szemben fekvő szögének felhasználásával: A-ban fölmérjük a φ szöget az AC egyenesnek B-t nem tartalmazó partjára ‐ természetesen föltesszük ugyanis, hogy az ötszög nem hurkolt ‐, ekkor D-t a szög újonnan kapott szárából kimetszi a C körüli, c sugarú kör. Ez a szerkesztés csak akkor egyértelmű, ha AC kisebbnek adódott c-nél vagy éppen egyenlő vele, vagy pedig ha a mondott kör érinti φ-nek új szárát; az utóbbi esetben a rész-háromszög D-nél derékszögű. 2 lehetőséget kapunk D helyzetére, ha a kör a szárt 2 pontban metszi, és nincs megoldás, ha nem is metszi.
Végül az AD átlóra támaszkodva az E csúcs ismét egyértelműen szerkeszthető az AD átlónak C-t nem tartalmazó partján az EA=e, ED=d szakaszokból, amennyiben a háromszög-egyenlőtlenség teljesül e két szakaszra, és az adódott (esetleg két lehetőség közül választott) AD szakaszra.
Hallgatólag föltettük, hogy α<180∘, a szerkesztett ABCDE ötszög C-nél, D-nél és A-nál levő szöge azonban adódhat homorú szögnek is. Sőt az AE félegyenes eshet AB-re és a BAC szögtartományba is, ekkor nincs nem hurkolt, megoldás.
A számpélda esetében AC>c, és D helyzetére 2 lehetőség adódik, de csak az az eset fejleszthető tovább, amelyben az ADC∢ hegyesszög; a másik helyzetben nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség.
 

  Szabó Éva (Budapest, Radnóti M. Gyak. g., I. o. t.)
  Páhán Katalin (Nagykőrős, Arny J. g., I. o. t.)
  Korecz László (Budapest, I. István g., I. o. t.)