Kezdőlap


Feladat:	1149. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/március, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/október: 1149. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyök alatti kifejezést az átalakítandó $K$ kifejezés első két tagjából is különválaszthatjuk. Ekkor marad még az első tag fele, ami viszont a gyökös kifejezés szorzója felének a négyzete. Ezzel egy összeg négyzetét ismertük fel:

\begin{matrix} K & = {[4 a b (a^{2} + b^{2})]}^{2} + [16 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a^{2} - b^{2})}^{4}] + \\ + 2 \cdot 4 a b (a^{2} + b^{2}) \sqrt[]{16 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a^{2} - b^{2})}^{4}} = \\ = {[4 a b (a^{2} + b^{2}) + \sqrt[]{16 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a^{2} - b^{2})}^{4}}]}^{2} . & (1) \end{matrix}

A gyök alatti

G

kifejezést így alakíthatjuk át:

\begin{matrix} G & = 16 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2})}^{2} = \\ = 4 \cdot 4 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {[{(a^{2} + b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}]}^{2} = \\ = 2 \cdot 4 a^{2} b^{2} {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a^{2} + b^{2})}^{4} + {(4 a^{2} b^{2})}^{2} = \\ = {[{(a^{2} + b^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2}]}^{2} . \end{matrix}

Mivel a szögletes zárójelben álló kifejezés nem negatív, ezért a gyökkifejezés értékét adja. Ezt (1)-be beírva újabb teljes négyzetet ismerhetünk fel, és végül

\begin{matrix} K & = {[4 a b (a^{2} + b^{2}) + {(a^{2} + b^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2}]}^{2} = \\ = {[{(a^{2} + b^{2} + 2 a b)}^{2}]}^{2} = {(a + b)}^{8} . \end{matrix}