Kezdőlap


Feladat:	1145. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/május, 205 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csillagászati, földrajzi feladatok, Gömbi geometria, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/szeptember: 1145. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 4 közül az alábbiak szerint a d) válasza helyes. A b) útvonal rövidebb az a)-nál, mert ugyanazon körnek, a $70^{\circ}$ -os északi szélességi $k$ körnek $175^{\circ}$ , ill. $185^{\circ}$ középponti szöghöz tartozó ívét járják be.

1. ábra

A mondott

k

kör sugara az 1. ábra szerint

r = R cos 70^{\circ}

, ahol

R

a (gömbnek tekintett) Föld sugara, így a b) útvonal hossza

\begin{matrix} \frac{175}{360} \cdot 2 π R cos 70^{\circ} . \end{matrix}

A c) útvonalat úgy értjük, hogy

A

-ból

É

-be a

10^{\circ}

nyugati hosszúságú délkör ívén haladunk, onnan

B

-be pedig a

175^{\circ}

keleti hosszúságú délkör ívén. A délkörök a gömb főkörei, sugaruk

R

, az ívekhez tartozó középponti szög

90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}

, a két ív együtt egy főkör kerületének

(20^{\circ} + 20^{\circ}) / 360^{\circ} = 1 / 9

részét teszi ki, így a c) útvonal hossza, majd aránya a b) útvonal hosszához viszonyítva

\begin{matrix} \frac{2 π R}{9}, \frac{8}{35 cos 70^{\circ}} < \frac{8}{35 \cdot 0, 3} < \frac{8}{10} < 1. \end{matrix}

Eszerint a c) útvonal rövidebb b)-nél.

Megmutatjuk még, hogy van a c)-nél rövidebb útvonal is

A

-ból

B

-be. Ilyen

e

útvonal az

A

-n és

B

-n átmenő főkör rövidebb (tehát félkörnél rövidebb) íve, az ehhez tartozó húr az

A B

szakasz, ami egyszersmind

k

-nak is húrja. A c) útvonal viszont egyenlő azzal, amely

A

-ból a

k

kör vele átellenes

A'

pontjába (keleti hosszúság

170^{\circ}

) vezet

É

-n át, vagyis délkörön, főkörön és az

A É A'

főkörívhez tartozó húr

A A'

, a

k

-nak átmérője, tehát nagyobb mint

A B

(2. ábra).

2. ábra

Márpedig egyenlő sugarú körök félkörnél nem nagyobb ívei közül az a kisebb, amelyhez rövidebb húr tartozik, vagyis

e

rövidebb

c

-nél.
Ezzel megindokoltuk a d) válasz helyes voltát.

Megjegyzés. Kérdéseink a földgömbre, azaz gömbre vonatkoztak, azonban meggondolásunk eredményei a valódi Föld-alakon ‐ az ún. geoidon ‐ is érvényesek, mert a fellépett útkülönbségek nagyobbak, semhogy alapultság megváltoztathatná előjelüket. Ezt több dolgozat említette. A kérdés ilyen elmélyítése tanulságos, azonban rövid vizsgafeladat megválaszolásában nem volt várható.