Kezdőlap


Feladat:	1144. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angster Judit
Füzet:	1968/március, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Körülírt kör, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/szeptember: 1144. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen az $A$ és $B$ csúcsból kiinduló magasság talppontja $A'$ , ill. $B'$ . Mindkettő rajta van az $A B$ oldalszakasz, mint átmérő fölé írt $k$ Thalész-kör kerületén. Másrészt $B'$ a $B$ körül $m_{b}$ sugárral írt $k_{b}$ körnek is pontja, ez metszi ki $B'$ -t $k$ -ból.
Húzzunk párhuzamost $A'$ -n át az $A C$ oldalegyenessel, és messe ez a $B B'$ magasságegyenest $D$ -ben. Ekkor, mivel az $A' B B'$ szög száraiból a párhuzamos $B' C$ , $D A'$ egyenesek által kimetszett megfelelő szakaszok aránya egyenlő, $D$ -re ugyanaz áll, ami $A'$ -re: a $B B'$ szakasz egyik végpontjától kétszer akkora távolságra van, mint a másiktól.
2. Ezek alapján a szerkesztés a következő: a tetszés szerinti fölvett $A B = c$ szakasz mint átmérő fölött megrajzoljuk a $k$ Thalész-kört. Ebből a $B$ körüli, $m_{b}$ sugarú $k_{b}$ körrel kimetsszük $B'$ -t. (Elég venni az egyik metszéspontot, mert az első lépés után ábránk még szimmetrikus az $A B$ egyenesre, mint tengelyre.) Szerkesztünk a $B B'$ egyenesen egy olyan $D$ pontot, melyre $D B' = 2 \cdot D B$ vagy $D B = 2 \cdot D B'$ . Ezután $D$ -n át $p$ merőlegest húzunk $B B'$ -re, ennek $k$ -val való metszéspontja $A'$ , végül kimetsszük $B A'$ -vel az $A B'$ egyenesből a $C$ csúcsot.

3. Az

A B C

háromszög megfelel a feladat követelményeinek, mert

A B = c

; továbbá mert Thalész tétele miatt

B B'

merőleges

A C

-re, és

B B' = m_{b}

; végül mert egyrészt

D A'

párhuzamos

A C

-vel, hiszen mindkettő merőleges

B B'

-re, így

A'

-nek a

B

C

pontoktól mért távolságaira ugyanaz áll, mint

D

-nek

B

-től és

B'

-től mért távolságaira, vagyis amit a feladat kívánt, másrészt ismét Thalész tétele miatt

A A' ⊥ B A' \equiv B C

, vagyis

A A'

A

-ból kiinduló magassága a háromszögnek.
4. A

k

kör mindenesetre megszerkeszthető;

B'

akkor és csak akkor jön létre, ha

c \geq m_{b}

. Amennyiben

D

B B'

húr belső pontja, azaz ha

k

belsejében van,

A'

és

C

mindig létrejön, mert

p

metszi

k

-t,

C

pedig azért, mert

B A'

nem lehet párhuzamos az

A

-n át

B B'

-re állított merőlegessel, azaz nem azonos a

B

-n át

B B'

-re állított

B B^{*}

merőlegessel, hiszen ilyenkor

D

és

A'

közte van e két merőlegesnek. A

B B'

húron levő

D

pontból

2

megoldást kapunk az

A B C

háromszögre, mert

p

két különböző pontban metszi

k

-t.
A

B B'

egyenesen

4

pont felel meg a

B

-től és

B'

-től előírt távolsági aránynak: a

B B'

szakasz

D_{1}

D_{2}

harmadoló pontjai, melyekre

B D_{1} = D_{1} D_{2} = D_{2} B'

, továbbá

B'

-nek

B

-re való

D_{3}

tükörképe és

B

-nek

B'

-re való

D_{4}

tükörképe. Az utóbbi kettő kívül van

k

-n, így a rajtuk át fektetett

p_{3}

, ill.

p_{4}

merőleges nem mindig metszi

k

-t.

B B' ⊥ A B'

miatt

p_{4}

p_{3}

tükörképe a

B B'

szakasz felező merőlegesére nézve, ami átmegy

k

-nak

O

középpontján. Legyen

O

vetülete

A B'

-re,

p_{3}

-ra,

p_{4}

-re rendre

O'

O_{3}

, ill.

O_{4}

, ekkor

O O' = B B' / 2 = m_{b} / 2

O' O_{4} = B' D_{4} = m_{b}

, tehát

O O_{4} = 3 m_{b} / 2

. Eszerint

p_{3}

-on és

p_{4}

-en akkor adódik két-két metszés

k

-val (

A'_{31}

A'_{32}

A'_{41}

A'_{42}

), ha

O_{3}

és

O_{4}

k

belsejében van,

O O_{4} < O A

, azaz

m_{b} < c / 3

. Ekkor

8

a követelménynek megfelelő háromszöget kapunk;

m_{b} = c / 3

esetén

p_{4}

és

p_{3}

érinti

k

-t, a megoldások száma

6

; ha

c / 3 < m_{b} < c

, akkor

4

;

m_{b} = c

esetén

2

, mert ekkor pl.

A'_{11}

és

A'_{12}

egymás tükörképe

A B

-re; végül

m_{b} > c

esetén nincs a követelményeknek eleget tevő háromszög.

Angster Judit (Pécs, Nagy Lajos g. II. o. t.)

Megjegyzés. Akár a leírt szerkesztésből, akár a fenti eredmények alkalmazásából látjuk, hogy az I. osztályosok részére közölt számadatokkal

m_{b} = 24

esetén

8

megoldás van,

m_{b} = 30

esetén

6

, végül

m_{b} = 36

esetén

4