Feladat: 1142. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1968/március, 117 - 118. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/szeptember: 1142. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Mivel 50=5⋅10, eljárhatunk úgy, hogy az 1. ábra 5 négyzetét a 2. ábra szerint 10‐10 egybevágó négyzetre osztjuk, és úgy is, hogy a 2. ábra 10 négyzetét osztjuk 5‐5 egybevágó négyzetre az 1. ábra szerint.

 

1. ábra

 

2. ábra

 

3. a. ábra     3. b. ábra

 

4. a. ábra     4. b. ábra

A továbbosztásban felhasználhatjuk az ábráknak a négyzet valamelyik tengelyére való tükörképét is, és tulajdonképpen az első felosztás minden egyes négyzete esetében különválaszthatunk a másik ábra vagy a tükörképe között. Célszerűbb azonban, ha pl. az 1. ábra mindegyik négyzetébe egyformán vagy a 2. ábrának, vagy a tükörképének kicsinyítettjét másoljuk be. Így készültek a 3.ab és 4.ab ábrapárok, ezeken a vastag vonalak az első, a vékonyak a második felosztás osztóvonalai. Látjuk, hogy az újabb osztóvonalak alkalmas párokban egymás meghosszabbításába esnek, és vastagon rajzolt szomszédos négyzeteknek a második felosztásban keletkezett töredékei alkalmasan kiegészítik egymást 1/50 négyzetekké, ennélfogva a vastag vonalak menti feldarabolás mellőzhető.
Így a 3a és 4a ábrák ugyanazt a feldarabolást adják, könnyű belátni, hogy a 7‐7 egyenlőközű vékony osztóvonal az eredeti négyzet oldalait 7‐7 egyenlő részre osztja. Ugyanígy a 3b és 4b ábrák vékony osztóvonalainak rendszere is azonos, ez a 9‐9 osztóvonal az eredeti négyzet oldalait 5‐5 egyenlő részre osztja, köztük szerepel az eredeti négyzet 2 átlója is.
II. A 3a és 4a ábrákon látható felosztást önállóan is képezhettük volna, az 1. és 2. ábrákról csak azt olvasva le, hogy 5 is, 10 is a2+1 alakú szám (a=2, ill. 3) és a kívánt 50 is ebből a képletből adódik a=7 esetén.
A 3b és 4b ábrákon pedig az 50=2⋅52 összefüggést látjuk felhasználva: az átlók berajzolásából adódó 4 derékszögű egyenlő szárú háromszögből 2 négyzetet állíthatnánk össze, ezeket azután az oldalakkal párhuzamos egyenesekkel oszthatjuk 25‐25 részre.
A b-ábrákon az magyarázza az osztóvonalak nagyobb számát, hogy az átlóktól távolodva az egymás utáni osztóvonalak rövidebbek, az a-ábrákon viszont minden vékony osztóvonal egyenlő hosszú.