Feladat: 1141. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Gábor ,  Tóth Tamás 
Füzet: 1968/április, 169 - 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/szeptember: 1141. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy 1900 előtt, mondjuk az 18XY¯=1800+10X+Y-odik évben született személy számjegyösszege

9+X+Y,
egy 1900-ban, vagy utána, az 19ZV¯-edik évben született személyé pedig
10+Z+V.
Ugyanezen személyek életkora 1967-ben, 1968-ban, ill. 1966-ban rendre 1967-(1800+10X+Y)=
=167-10X-Y,168-10X-Y,166-10X-Y,ill.67-10Z-V,68-10Z-V,66-10Z-V.
Ezek szerint Pista bácsira és idősebb fiára a következő két egyenlet egyike teljesül:
3(9+X+Y)=167-10X-P,azaz13X+4Y=140,vagy(1)3(10+Z+V)=167-10Z-V,azaz13Z+4V=37.(2)

(1)-ben X osztható 4-gyel, mert 4Y is, 140 is osztható vele, eszerint X=0, 4, vagy 8; azonban még X=4 esetén is (ami különben sem valószínű, mert így Pista bácsi kb. 120 éves lenne) Y>9, így csak az X=8, Y=9 értékpárról, az 1889. évről lehet szó.
(2) így alakítható:
Z-1=4(9-3Z-V),
eszerint Z-1 osztható 4-gyel, továbbá Z≤3, mert különben a jobb oldal negatív. Így Z=1, V=6, eszerint szóba jön az 1916-os év is. Mivel Pista bácsi és nagyobbik fia nem születhettek ugyanabban az évben, Pista bácsi 1889-ben, fia 1916-ban született és életkoruk
1967-1889=3(1+8+8+9)=78év, ill.1967-1916=3(1+9+1+6)=51év.

Eszerint Pali édesapja 1916 után született, rá a
3(10+Z+V)=68-10Z-V,13Z+4V=38(3)


egyenlet teljesül, anyai nagyapjára pedig vagy ugyanez, vagy a következő:
3(9+X+Y)=168-10X-Y,13X+4Y=141.(4)


Ezek így alakíthatók:
Z-2=4(9-3Z-V),(3')X-1=4(35-3X-Y),(4')


vagyis Z-2, ill. X-1 oszható 4-gyel. Ebből a fentiekhez hasonlóan Z=2, V=3, ill. X=9, Y=6, az évszámok 1923, ill. 1896. Pista édesapja 44 éves, 1968-ban 45=3(1+9+2+3) lesz, anyai nagyapja vagy ugyanennyi, vagy 71 éves és 1968-ban 72=3(1+8+9+6) éves lesz. Eldöntésére visszatérünk.
Pali anyai nagyanyjára nézve is két egyenlet állhat fenn:
3(9+X+Y)=166-10X-Y,13X+4Y=139,(5)3(10+Z+V)=66-10Z-V,13Z+4V=36.(6)



A fentiekhez hasonlóan X+1 osztható 4-gyel, de (5) semmilyen elfogadható évszámra nem teljesül, (6) pedig a Z=0, V=9 értékpárra, tehát a nagyanya 1909-ben született és 58 éves, 1966-ban 57=3(1+9+0+9) éves volt.
Így Pali édesanyjára
2(10+Z+V)=68-10Z-V,4Z+V=16,
születési éve vagy 1928, vagy 1934, vagy 1940. Magára Palira
10+Z+V=67-10Z-V,11Z+2V=57,
Z páratlan, és csak Z=5, V=1 elfogadható, vagyis Pali 1951-ben született, most 16 éves. Végül Pali bátyjára
10+Z+V=68-10Z-V,11Z+2V=58,
Z páros és csak Z=4, V=7, azaz 1947 elfogadható, Pali bátyja 20 éves.
Biztosra vehetjük így, hogy édesanyjuk és anyai nagyapjuk születési éve 1928, ill. 1896, tehát életkoruk 39, ill. 71 év.
Ezzel minden említett családtag életkorát meghatároztuk: Pali apai nagyapja 78 éves, anyai nagyszülei 71 és 58 évesek, szüleinek életkora 44 és 39 év, nagybátyjáé 51, bátyjáé 20, önmagáé pedig 16 év.
 

Tóth Tamás (Tatabánya, Árpád g. I. o. t.)
 

II. megoldás (vázlat). A feladatot megoldhatjuk grafikusan is. Az ábrán csupán Pali, szülei és bátyja életkorának, születési évszámának meghatározását mutatjuk be, így a folyóiratunk méreteire kicsinyített grafikonrészlet még áttekinthető.
 

 

Az emelkedő szakaszok az N születési évszámhoz a számjegyek n összegét tüntetik fel az 1922≤N≤1968 intervallumban (lázgörbeszerűen, vagyis csak az egész abszcisszájú pontok lényegesek; a kerek tízes évszámoknál beálló nagyobb leugrásokat nem rajzoltuk be).
A ,,Pali'' jelű süllyedő (balra emelkedő) egyenes pontjainak é ordinátája viszont azt adja meg az N évben született emberekre, hogy hány év telik el születésüktől 1967-ig, azaz hogy az illetők 1967-ben hány évesek. Ennek is csak az egész abszcisszák fölötti pontjait tekintjük. Ez az egyenes a számjegy-összeg grafikont az 1951 abszcissza fölött metszi ‐ ez Pali születési éve ‐, és egyszersmind a 16-os ordinátán, ez Pali életkora 1967-ben. A ,,bátyja'' jelű egyenes ugyanezt adja 1968-ra, csak az 1947 abszcissza fölötti metszéspont értelmezhető.
Hasonlóan az ,,anyja'', ,,apja'' feliratú egyenesek az N-ben született személyek 1968-beli életkorának felét, ill. 1968-beli életkorának harmadát tüntetik fel. Az előbbin látjuk az I. megoldásbeli 1940-es, 1934-es, 1928-as metszéseket, amelyekből más meggondolással választjuk ki a megoldást.
 

Farkas Gábor (Budapest, Eötvös J. g. I. o. t.)