Feladat: 1138. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálmán Miklós 
Füzet: 1968/március, 114 - 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Partíciós problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/szeptember: 1138. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen a két törtszám x és y, a második követelményben szereplő pozitív egész számok pedig A és B, vagyis

x=A(110+170)=435⋅A,y=435⋅B.(1)
Ekkor az első követelmény szerint
x+y=435(A+B)=8,A+B=70.(2)

Számaink sorrendjére nem vagyunk tekintettel, így elég azokat a megoldásokat keresnünk, amelyekben pl. x≤y, vagyis A≤B. Ekkor A fölveheti az 1, 2, ..., 35 értékeket, B értéke pedig rendre 70-A=69, 68, ..., 35. Így (1) szerint 35 a követelményt kielégítő x, y tört-pár van. Nem zártuk ki az A=B=35 értéket, amikor x=y=4, mert az egész számok is a törtek közé tartoznak. Megfelelnek pl.
A=1esetén435és27635;A=20esetén  167és  407.

b) Az újabb követelmény az előbbi kettőhöz csatlakozik, ennélfogva a megoldásokat a fentiek közül válogathatjuk ki, pl. a fenti második számpélda két tagja a 87 áltörtnek 2-szerese, ill. 5-szöröse, tehát megfelel.
Legyen a kérdéses áltört r(>1), és
x=C⋅r,y=D⋅r,
ahol C és D az 1-nél nagyobb természetes számok. Ekkor egyrészt
x+y=(C+D)r=8,(3)C+D=8r<8,


másrészt
xy=AB=CD=ab,
itt ab az AB és CD törtek legegyszerűbb alakja, A=k⋅a, B=k⋅b, és k az A, B számok legnagyobb közös osztója, továbbá C≥a, D≥b.
Ezeket (2)-be és (3)-ba beírva
k(a+b)=70,a+b=70k≤C+D<8,
tehát k a 708-nál nagyobb természetes szám, és osztója 70-nek. Mivel még k≤ka=A≤35, azért k csak 10, 14 és 35 lehet, továbbá a≤35k.
Ezek szerint k, majd a értékét megválasztva A, B, b és a+b szóba jövő értékeire a következőket kapjuk:
I.II.III.IV.V.VI.k101010141435a123121A102030142835B605040564235b654431a+b777552


Az I‐V. értékrendszerekben (3) miatt C=a és D=b, így azonban I-ben és IV-ben nem teljesül C>1. A II. és III., valamint az V. értékrendszerben a kérdéses áltört
r=8C+D=87,  ill.  85.

A VI. értékrendszerben A=B miatt C=D=2, x és y közös értéke 4, és ez előállítható a 2/1 áltörtből.
Mindezek szerint az újabb követelménynek eleget tevő tört-párok:
167és407,247és327,165és245,41és41.

  Kálmán Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. gimn. II. o. t.)