Kezdőlap


Feladat:	1136. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Bencze Júlia , Fuggerth E. , Füredi A. , Gádoros Gabriella , Gróf P. , Hárs L. , Hetzer J. , Horváth László , Hübler A. , László I. , Lempert L. , Lengyel T. , Lőrincz A. , Máthé Mariann , Nagy Dénes , Pataki István , Rajta P. , Schván P. , Sólyom Mihály , Somorjai G. , Stefanovicz K. , Tél T. , Várhegyi Éva , Vitályos G.
Füzet:	1968/január, 25 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 1136. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott kör $k$ , középpontja $O$ , sugara 2 egység, a $k_{a}$ , $k_{b}$ , $k_{c}$ beírt kör középpontja rendre $A$ , $B$ , $C$ , a $k$ -val való érintkezési pontjuk rendre $E_{a}$ , $E_{b}$ , $E_{c}$ , és az $A B C$ háromszög csúcsainál levő szög rendre $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ .

A beírt körök sugara 1, mert pl.

E_{a}

rajta van az

O A

egyenesen, tehát

O E_{a} = 2

, a

k_{a}

-nak átmérője. Így

A

B

C

O

körül 1 sugárral írt

k_{1}

körön vannak, ebben

A B

átmérő, mert

C

-ből derékszögben látszik, ezért

k_{a}

és

k_{b}

kívülről érintkezik. Továbbá

B O C ∢ = 2 \cdot B A C ∢ = 60^{\circ}

O B C

egyenlő oldalú háromszög,

k_{b}

átmegy

C

-n,

k_{c}

átmegy

B

-n. Legyen végül a

k_{a}

k_{c}

körpár

O

-tól különböző metszéspontja

M

, a

k_{b}

k_{c}

, páré

N

. Így

O A M C

és

O B N C

rombuszok, hegyesszögük

60^{\circ}

E_{a}

E_{b}

E_{c}

O

M

és

N

pontok

k

k_{a}

és

k_{b}

kerületét 3‐3,

k_{c}

-ét pedig 4 ívre osztják (ti. olyan ívre, amelynek belsejében nincs megjelölt pont), a kis körvonalak a nagy kör területét az ábra szerinti I‐VIII. részekre darabolják fel. Minden ív egész számszorosa a

k_{a}

és

k_{c}

egymással egyenlő

O M = i = π / 3

ívének:

E_{b} N = E_{c} N = i

E_{b} E_{c} = E_{a} M = E_{c} M = O B N = O C N = 2 i

O E_{a} = O E_{b} = 3 i

E_{a} E_{c} = 4 i

E_{b} E_{a} = 6 i

,így az I. rész kerülete

2 i

, a II‐III. részeké

4 i

, a IV‐VI. részeké

6 i

, a VII.-é

8 i

és a VIII.-é

12 i

. Nagyobb sorszámú rész kerülete nagyobb, vagy ugyanakkora, mint az 1-gyel kisebb sorszámú részé.

Mindegyik rész területét egyszerűen kifejezhetjük a kis körök egy

60^{\circ}

-os körcikke

T = π / 6 (\approx 0, 5236)

területével és az egységnyi oldalú szabályos háromszög

t = \sqrt[]{3} / 4 (\approx 0, 4330)

területével. Így a kis körökből egy

60^{\circ}

-os középponti szögű húrral levágott szelet területe

T

-t, és az I., VI., III., V., IV. rész területe rendre

\begin{matrix} \begin{matrix} t_{I} = 2 (T - t) = \frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} & \approx 0, 1812, \\ t_{VI} = 6 T - t_{I} = 4 T + 2 t = \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} & \approx 2, 9604, \\ t_{III} = 2 t + 4 (T - t) = 4 T - 2 t = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} & \approx 1, 2284, \\ t_{V} = 6 T - t_{III} = 2 T + 2 t = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} & \approx 1, 9132, \\ t_{IV} = 6 T - (t_{I} + t_{III}) = 4 t = \sqrt[]{3} & \approx 1, 7321, \end{matrix} \end{matrix}

k

egy

60^{\circ}

-os körcikkének területe

4 T

, a 2 egységnyi oldalú szabályos háromszög területe

4 t

. Az

E_{b} E_{c}

húr átmegy

N

-en, ezért II. területe a

k_{b}

-ből az

E_{b} N

és

k_{c}

-ből az

N E_{c}

húrral lemetszett szeletek területének összegével kevesebb, mint a

k

-ból

E_{b} E_{c}

-vel lemetszett szeleté:

\begin{matrix} t_{II} = 4 T - 4 t - 2 (T - t) = 2 T - 2 t = t_{I} . \end{matrix}

A VIII. rész

k

alsó félkörének ős

k_{a}

k_{b}

alsó félkörei összegének különbsége:

t_{VIII} = 12 T - 2 \cdot 3 T = 6 T (= π)

, végül

t_{VII}

esetében hasonlóan az

O E_{a} E_{c}

körcikkből

k_{a}

és

k_{c}

egy‐egy félkörét vonjuk ki, egyiküket azonban közös részük, I. területével csökkentve

\begin{matrix} t_{VII} = 8 T - 3 T - (3 T - t_{I}) = 4 T - 2 t = t_{III} . \end{matrix}

(Másképpen:

E_{a} E_{c}

átmegy

M

-en, így

k

-nak egy

120^{\circ}

-os szeletéből ki kell vonnunk a kis kör két

120^{\circ}

-os szeletét:

t_{VII} = (8 T - 4 t) - 2 (2 T - t) = 4 T - 2 t

, mert pl. az

A E_{a} M

háromszög területe feleakkora, mint az

O A M C

rombuszé, vagyis akkora, mint az

O A M

háromszögé.)
Így a részek a területek növekvő rendjében:

I. és II., III. és VII., IV., V., VI., VIII.

A kerületek szerinti sorrendhez képest csak VII. helyzete változott meg.
Eredményeink szerint a feldarabolással előállt, részek között vannak egyenlő kerületűek is, egyenlő területűek is, de nincs olyan idom‐pár, amelynek kerülete is, területe is egyenlő volna.

Bencze Júlia (Budapest, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)

Sólyom Mihály (Eger, Alpári Gy. közg. szakközépisk. II. o. t.)