|
Feladat: |
1135. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Backhausz Beáta , Bajmóczy E. , Bálványos Z. , Bogár D. , Cserha Gabriella , Csobádi Péter , Ésik Z. , Eteli F. , Fiala T. , Fialovszky Alice , Fischer Ágnes , Fuggerth E. , Füredi A. , Gádoros Gabriella , Gajdács Ibolya , Győry F. , Gönczi I. , Hadik R. , Hárs L. , Horváth László , Kaján L. , Kemény A. , Kéthelyi J. , Lempert L. , Lengyel Erzsébet , Maróti P. , Martoni V. , Mihály Gy. , Móricz P. , Nagy Dénes , Nagy Zoltán , Németh K. , Nikodémusz Anna , Papp Zoltán , Pataki István , Pataki János , Pintér Vera , Sailer K. , Schván P. , Siklósi M. , Simon Júlia , Somogyi Á. , Somorjai G. , Szabó László Sándor , Tél T. , Turi A. , Törő J. , Váli L. , Váradi Judit , Zöldy B. |
Füzet: |
1968/április,
166 - 168. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vetítések, Paralelogrammák, Síkgeometriai szerkesztések, Helyvektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/május: 1135. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Szerkesztésünket az adott három ponttal meghatározott síkban végezzük. Legyen a sík egy az előírt tulajdonsággal bíró pontja, és tekintsük a rajta átmenő egyenesek közül azt, amelyik merőleges az egyenesre; legyen ez . Ekkor és merőleges vetülete azonos és az egyenes metszéspontjával, így (1) szerint . Ez azt jelenti, hogy vetülete -re , vagyis , tehát csak az -vel -n át húzott párhuzamos egyenes valamely pontja lehet.
1. ábra Ugyanígy adódik a -n átmenő és -re merőleges egyenes felhasználásával, hogy csak a -vel -n át húzott párhuzamos egyenes pontja lehet. és különbözők, mert , , háromszöget alkotnak, tehát egyetlen közös pontjuk van, az, amely az adott pontokat olyan paralelogrammává egészíti ki, melyben átló. Megmutatjuk, hogy (1) teljesül bármely a -n átmenő (-beli) egyenesre. Valóban, mivel párhuzamos, egyirányú és egyenlő -val, azért ugyanezek fennállnak és között. Így az irányokat is figyelembe véve mindig fennáll | | amihez mindkét oldalon hozzáadva a vektort, (1)-et kapjuk. Papp Zoltán (Debrecen, Fazekas M. g. II. o. t.) II. megoldás. Legyen ismét egy a kívánt tulajdonsággal bíró pont, egy rajta átmenő egyenes, továbbá , , , és bontsuk fel az (1)-ben fellépő vektorokat 2‐2 vektor összegére | | Ezekkel teljesül (1), amiből átrendezéssel A egyenest körül forgatva ennek a vektoregyenlőségnek a jobb oldala állandó, a bal oldal viszont változó; hiszen mindig merőleges -re. Ez az ellentmondás csak úgy oldódik fel, ha a bal oldal -vektor, csak így marad állandó, irányának megváltozása ellenére. Ekkor viszont a jobb oldalra is fennáll | | Ezt a bármely pontra fennálló egyenlőségekkel egybevetve csak olyan pont lehet, melyre és , vagyis és , tehát az , , pontokat paralelogrammává kiegészítő pont, ha a paralelogrammában , az átlók. Csobádi Péter (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.) Megjegyzések. 1. Szerkesztésünk akkor is érvényes, ha , , egy egyenesbe esnek, ekkor azonban (1) lényegében semmitmondó (2. ábra).
2. ábra 2. Akkor is érvényes (1), ha mindhárom pont vetítése egymással párhuzamosan történik a felvett egyeneshez tetszés szerinti szöggel hajló irányban. 3. Be lehet látni, hogy bizonyításunk a -n átmenő, de nem az síkban fekvő egyenesekre is érvényes.
|
|