Kezdőlap


Feladat:	1134. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hárs László , Zambó Péter
Füzet:	1968/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 1134. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszögben $A C = B C$ , $A B$ felezőpontja $F$ , egy a $C$ körül $r = C A$ sugárral írt kör $k$ . Ez az alakzat szimmetrikus az $A B$ alap $f$ felező merőlegesére nézve, így $k$ -nak $A$ -ből és $B$ -ből húzott érintői egymásnak az $f$ tengelyre vonatkozó tükörképei. $r = C A$ esetén csak egy-egy érintő húzható ( $r > C A$ esetén a kérdés tárgytalan).

A tükrös érintőpárok

f

-en metszik egymást, ill. az egyik pár párhuzamos, ha

r = A F

, ha pedig

r = C F

, akkor egy érintőpár egybeesik.

C F = A F

esetén a két kivételes eset egyszerre jön létre.
Fordítva,

f

-nek minden, az

F

-től és

C

-től különböző

P

pontja a mértani helyhez tartozik, ti. akkor adódik

P

, amikor

r = C T

, ahol

T

C

-nek

P A

-n levő vetülete; ekkor ugyanis

C T \leq C A

, másrészt

P A

nem azonos

f

-re vett

P B

tükörképével, így

P

valóságos metszéspont.

F

a fenti 2. eset miatt nem felel meg

P

-ként,

P = C

viszont

r = 0

-ra vezetne.
Legyen most

r < C A

, így az

A

-ból

k

-hoz húzott

e_{1}

e_{2}

érintők különbözők, legyen érintési pontjuk

T_{1}

, ill.

T_{2}

, az

e_{1}

-nek

f

-re való tükörképe

e'_{1}

‐ ez átmegy

B

-n és

T'_{1}

-ben érinti

k

-t ‐, végül

e_{2}

és

e'_{1}

metszéspontja

M

. Megmutatjuk, hogy

M

rajta van az

A B C

háromszög köré írt

k_{0}

körön.
Forgassuk el az ábrát

C

körül úgy, hogy

A

képe

B

legyen. Ekkor

e_{2}

képe

e'_{1}

, ugyanis

e_{2}

abba a

B

-ből húzott érintőbe megy át, amibe ugyanolyan forgatás viszi át

B C

-t, mint amilyennel

A C

átvihető

e_{2}

-be. De

e_{2}

-t

e'_{1}

-be az

A C

-re, majd

f

-re való tükrözéssel is átvihetjük; ezek során

A C

helybenmarad, majd

B C

-be megy át, az őt

e_{2}

-be vivő forgás nagysága nem változik, a forgás iránya pedig kétszer az ellenkezőjére változik, így az

A C

-t

e_{2}

-be és

B C

-t

e'_{1}

-be vivő (egyik) forgás irányra is megegyezik. Mivel

T_{2}

-t a forgatás

T'_{1}

-be viszi át, így tehát a

T_{2} A C ∢

és

T'_{1} B C ∢

egyenlő, forgási irányra nézve is.
Ha

M

A B

egyenes ugyanazon oldalán van, mint

C

, akkor

M C

A

-ból és

B

-ből egyenlő szögben látszik, ha pedig

M

és

C

A B

egyenes ellenkező oldalán van, akkor az

A C B M

négyszög

A

és

B

csúcsának egyikénél levő belső szög a másiknál levő külső szöggel egyenlő. A négyszög tehát húrnégyszög. Így

M

mindkét esetben rajta van az

A B C

háromszög köré írt körön,

k_{0}

-on. Ez nyilvánvalóan igaz akkor is, ha

M

egybeesik

A

-val, ill.

B

-vel (

r = C F

).
Fordítva,

k_{0}

bármely

M

pontja az utóbbi módon hozzátartozik a keresett mértani helyhez, kivéve

C

-t. Ugyanis az

M A

M B

egyenesek közti egyik szög felezője az

M C

egyenes, hiszen

C

felezi

k_{0}

-nak

A

és

B

közti egyik ívét. Eszerint van olyan

C

közepű

k

kör, melynek érintői

M A

és

M B

. Nyilvánvalóan maga az

A

és

B

pont is hozzátartozik a mértani helyhez; a

C

-vel átellenes

D

pont ezen az úton nem adódik ki (

r = C A

esetén csak egy-egy érintő van, és ezek egymás képei

f

-re), viszont

f

révén hozzátartozik a mértani helyhez.
Mindezek szerint a keresett mértani helyet

k_{0}

és

f

alkotja a

C

és

F

pont kivételével.

Zambó Péter (Miskolc, Földes F. gimn. II. o. t.)
Hárs László (Budapest, Kölcsey F. gimn. II. o. t.)