A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az háromszögben , felezőpontja , egy a körül sugárral írt kör . Ez az alakzat szimmetrikus az alap felező merőlegesére nézve, így -nak -ből és -ből húzott érintői egymásnak az tengelyre vonatkozó tükörképei. esetén csak egy-egy érintő húzható ( esetén a kérdés tárgytalan).
A tükrös érintőpárok -en metszik egymást, ill. az egyik pár párhuzamos, ha , ha pedig , akkor egy érintőpár egybeesik. esetén a két kivételes eset egyszerre jön létre. Fordítva, -nek minden, az -től és -től különböző pontja a mértani helyhez tartozik, ti. akkor adódik , amikor , ahol a -nek -n levő vetülete; ekkor ugyanis , másrészt nem azonos -re vett tükörképével, így valóságos metszéspont. a fenti 2. eset miatt nem felel meg -ként, viszont -ra vezetne. Legyen most , így az -ból -hoz húzott , érintők különbözők, legyen érintési pontjuk , ill. , az -nek -re való tükörképe ‐ ez átmegy -n és -ben érinti -t ‐, végül és metszéspontja . Megmutatjuk, hogy rajta van az háromszög köré írt körön. Forgassuk el az ábrát körül úgy, hogy képe legyen. Ekkor képe , ugyanis abba a -ből húzott érintőbe megy át, amibe ugyanolyan forgatás viszi át -t, mint amilyennel átvihető -be. De -t -be az -re, majd -re való tükrözéssel is átvihetjük; ezek során helybenmarad, majd -be megy át, az őt -be vivő forgás nagysága nem változik, a forgás iránya pedig kétszer az ellenkezőjére változik, így az -t -be és -t -be vivő (egyik) forgás irányra is megegyezik. Mivel -t a forgatás -be viszi át, így tehát a és egyenlő, forgási irányra nézve is. Ha az egyenes ugyanazon oldalán van, mint , akkor -ból és -ből egyenlő szögben látszik, ha pedig és az egyenes ellenkező oldalán van, akkor az négyszög és csúcsának egyikénél levő belső szög a másiknál levő külső szöggel egyenlő. A négyszög tehát húrnégyszög. Így mindkét esetben rajta van az háromszög köré írt körön, -on. Ez nyilvánvalóan igaz akkor is, ha egybeesik -val, ill. -vel (). Fordítva, bármely pontja az utóbbi módon hozzátartozik a keresett mértani helyhez, kivéve -t. Ugyanis az , egyenesek közti egyik szög felezője az egyenes, hiszen felezi -nak és közti egyik ívét. Eszerint van olyan közepű kör, melynek érintői és . Nyilvánvalóan maga az és pont is hozzátartozik a mértani helyhez; a -vel átellenes pont ezen az úton nem adódik ki ( esetén csak egy-egy érintő van, és ezek egymás képei -re), viszont révén hozzátartozik a mértani helyhez. Mindezek szerint a keresett mértani helyet és alkotja a és pont kivételével. Zambó Péter (Miskolc, Földes F. gimn. II. o. t.) Hárs László (Budapest, Kölcsey F. gimn. II. o. t.) |