Kezdőlap


Feladat:	1132. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 1132. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $N$ olyan szám, amelynek megvan a feltevés szerinti tulajdonsága, osztói növekedő sorrendben $d_{1}$ , $d_{2}$ , $...$ $d_{r}$ ahol $r$ az osztók száma.
Ekkor

\begin{matrix} d_{1} + d_{2} + ... + d_{r} = 2 N, \end{matrix}

(1)

és a feladat állítása, szerint

\begin{matrix} s = \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + ... + \frac{1}{d_{r}} = 2. \end{matrix}

(2)

Szokás szerint csak a pozitív osztókra gondolunk, különben, negatív párjukat is mindig figyelembe véve az összeg bármely természetes szám esetében

0

lenne; eszerint

d_{1} = 1

d_{r} = N

.
Szorozzuk

s

-et

N

-nel:

\begin{matrix} N s = \frac{N}{d_{1}} + \frac{N}{d_{2}} + ... + \frac{N}{d_{r}} . \end{matrix}

(3)

Megmutatjuk, hogy e kifejezés tagjai fordított sorrendben egyenlők (1) bal oldalának tagjaival. Ebből már következik az állítás, hiszen így

N s = 2 N

, tehát

s = 2

.
Valóban, minden tag kisebb az előtte állónál, mert

N

-et egymás után nagyobb és nagyobb pozitív számmal osztjuk. Továbbá minden egyes

N / d_{i} = q_{i}

tag ‐ ahol

i = 1, 2, ...

r

‐ természetes szám, hiszen

d_{i}

osztója

N

-nek, és a tag maga is osztója

N

-nek, hiszen

N / q_{i} = d_{i}

, egész szám. Ezek szerint

q_{i} = d_{r + i - 1}

. Végül (3) tagjainak száma ugyanannyi, mint (1) bal oldaláé, így más tag nem léphet fel. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk, ebből a feladat állítása az előrebocsátott módon következik.
A szóban forgó tulajdonsága megvan pl: a 6-nak és a 28-nak. Ezekre

\begin{matrix} 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \cdot 6, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 \cdot 28, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 2, \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = 2. \end{matrix}

Megjegyzés. A feltevésben és az állításban szereplő 2-es számnak nem volt lényeges szerepe a bizonyításban. Hasonlóan látható be, hogy ha

\begin{matrix} d_{1} + d_{2} + ... + d_{r} = λ \cdot N, akkor \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + ... + \frac{1}{d_{r}} = λ, \end{matrix}

‐ és ilyen

λ

racionális szám minden

N

esetében van ‐, természetesen

λ > 1

, hiszen még a

p

törzsszámokra is

1 + p > p

, az egyetlen osztóval bíró

N = 1

számra viszont érdektelen az állítás. Érdekesebbnek tartjuk, ha

λ

egész szám, pl.

N = 120

esetében

λ = 3