Feladat: 1131. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálványos Z. ,  Bencze Júlia ,  Bulkai T. ,  Csetényi A. ,  Ésik Z. ,  Gönczi I. ,  Hárs L. ,  Koren András ,  Lempert L. ,  Máthé Mariann ,  Moson P. ,  Nagy D. ,  Nagy Zs. ,  Pataki I. ,  Perémy G. ,  Sailer K. ,  Schinagl G. ,  Simon Júlia ,  Somogyi Á. ,  Takács L. ,  Tél T. ,  Turi A. ,  Viszkei Gy. ,  Zambó Péter ,  Zöldy Béla 
Füzet: 1968/február, 71 - 73. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/május: 1131. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen a kérdéses felbontások tagjaiból képezett, az előírásnak megfelelő felsorolás (számsorozat) középső ‐ ötödik ‐ tagja a és a szomszédos tagok különbsége d (úgy értve, hogy mindig pl. a később álló tagból vonjuk ki az előtte állót). Ekkor a felsorolás tagjai

a-4d,a-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d.(1)
Nevezzük d együtthatóját az illető tag indexének.
A 9 tag összege 9a, és ez egyenlő a felbontandó számok összegével, 19+28+ +37=84-gyel, innen a=28/3. Legyen a 19, 28, 37 felbontásából eredő 3‐3 tag indexének összege rendre s1, s2, s3, így e tagok összege rendre 3a+s1d, 3a+s2d, ill. 3a+s3d, tehát
28+s1d=19,28+s2d=28,28+s3d=37,amiből(2)s2=0,s1=-s3≠0,és(3)d=9/s3.(4)



Ezek szerint, ha a 9 indexet úgy rendezzük 3 háromtagú csoportba, hogy a 3 index összege egyik csoportban 0, egy másikban pedig 0-tól különböző ‐ amikor persze a hátra levő csoportban az utóbbi összeg (-1)-szerese az összeg, hiszen a 9 index összege 0, ‐ akkor a 0-tól különböző összeget s3-nak véve és kiszámítva (4)-ből a közös különbséget, majd (1) tagjait, (2) szerint az s3 összegű indexhármashoz tartozó 3 tagja a felsorolásnak 37-et ad összegül, a 0-összeget adó indexhármashoz tartozók 28-at, a maradó 3 tag pedig 19-et. Pl. a
-3,0,3(s2),1,2,4(s3),-4,-2,-1(s1)(5)
index-elrendezés megfelel (3)-nak, d=9/(1+2+4)=9/7, és a felsorolás tagjai (közös nevezőre hozva), majd számaink felbontásai:
8821,11521,14221,16921,19621,2232125021,27721,30421,(6)19=8821+14221+16921,28=11521+19621+27721,37=22321+25021+30421,(7)



Ha (5) utolsó csoportját vesszük s3 nak, d=-9/7, a (6) felsorolás és a (7) felbontások tagjait fordított sorrendben kapjuk, ez azonban nem tekintendő új megoldásnak. (6)-ra vezet az indexek következőkét csoportosítása is:
-3,1,2;0,3,4;-4,-2,-1és-2,-1,3;1,2,4;-4,-3,0.

II. A felbontások számának megállapításához nincs szükség a 9 index minden lehetséges elrendezésének felírására, elég előállítani a 0-összegű, s2-ként felhasználandó indexhármasokat. Könnyű belátni, hogy ezek a következők:
(-4,0,4),(-3,0,3),(-2,0,2),(-1,0,1),(8)(-4,1,3),(-3,-1,4),(-3,1,2),(-2,-1,3),
számuk 8. Ugyanis bármelyikükből kiindulva a második, s3-ként felhasználandó indexhármast ‐ mint alább megmutatjuk ‐ a maradó 6 indexből 20-féleképpen állíthatjuk össze, amivel az elrendezést is meghatároztuk, s1 tagjai a föl nem használt indexek lesznek. Az így gondolható 8⋅20=160 csoportosítás közül azonban nem adnak megoldást, (1) alakú felsorolást azok, amelyekben s3=0, vagyis s1=s2=s3=0. A (8) hármasokból lényegében két ilyen csoportosítás képezhető:
(-4,0,4),(-3,1,2),(-2,-1,3);(9)és(-2,0,2),(-4,1,3),(-3,-1,4).
(A 0 index miatt (8) első sora valamelyik hármasának szerepelnie kell, viszont a (-3,0,3) és (-1,0,1) hármasoknak mindegyik további hármassal van közös indexe, ezért s1=s2=s3 típusú elrendezésben nem léphetnek fel.) A (9) elrendezések mindegyike 3⋅2=6 különböző sorrendben lép fel a fenti 160 csoportosításban aszerint, hogy a 3 hármas melyike kapja s2, ill. s3 szerepét: s2-t 3-féleképpen, s3-at 2-féleképpen választhatjuk.
Ezek szerint a 9 indexnek 160-2⋅6=148 elrendezésében teljesül a (3) föltétel. Ezek ‐ a bemutatott példa szerint ‐ páronként ugyanazt a felbontást adják a 19, 28, 37 számokra, így a kívánt felbontások száma 74.
 

III. Hátra van még annak belátása, hogy 6 különböző index közül valóban 20-féleképpen választhatjuk s3 tagjait. Az elsőt 6-féleképpen, a maradók közül a másodikat 5-, a harmadikat 4-féleképpen, és mindegyik utóbbi megválasztás az előbbiek mindegyikével összekapcsolható. Az így adódó 6⋅5⋅4=120 lehetőségben azonban minden egyes számhármast 6-szor vettünk figyelembe, ahány különböző sorrendben 3 különböző elem felírható ‐ amint ezt a (9)-hez fűzött meggondolásban láttuk ‐, ezért a csupán sorrendi különbözőségektől eltekintve valóban 120:6=20 a keresett szám.
 

IV. A 6, 72, 48 számok felbontásainak számát hasonlóan kereshetjük. Minden felsorolás középső tagja (6+72+48)/9=14. Ekkor
42+s1d=6,42+s2d=72,42+s3d=48,(2')
így (3) helyére a következő föltétel lép:
s1:s2:s3=(-6):5:1.(3')

A legkisebb három index összege (-4)+(-3)+(-2)=-9, a legnagyobb háromé 9, így |s1|, |s2|, |s3|≤9, ezért lényegében csak s1=-6, s2=5, s3=1 lehetséges, hiszen láttuk, hogy mindegyik indexösszegnek (-1)-gyel való szorzása csak sorrendi változást okoz a felbontásokban. Ekkor d=6, számainkat csak a
-10,-4,2,8,14,20,26,32,38(10)
felsorolás számaiból állíthatjuk elő. Mármost kevés próbálgatás mutatja, hogy a következő 6 index elrendezés ad megoldást:
s1(6 felbontása)s2(72 felbontása)s3(48 felbontása)MM(-4,-3,1)MMMM(-2,3,4)MMMM(-1,0,2),MMMM(-4,-3,1)MMMM(-1,2,4)MMMM(-2,0,3),MMMM(-4,-3,1)MMMM(-0,2,3)MMMM(-2,-1,4),MMMM(-4,-2,0)MMMM(-1,2,4)MMMM(-3,1,3),MMMM(-3,-2,-1)MMMM(-0,1,4)MMMM(-4,2,3),MMMM(-3,-2,-1)MMMM(-0,2,3)MMMM(-4,1,4),MM
vagyis a megoldások száma 6. Pl. a negyedik sor szerint (10)-ből:
6=(-10)+2+14,72=8+26+38,48=(-4)+20+32.

Koren András (Budapest, I. István g. III. o. t.)
Zöldy Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.)
Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. A nem teljes és a hibás dolgozatokban gyakori, hogy a szerző többletkövetelményt állít fel. Ilyenek: a felbontás tagjai egész számok; a felsorolás első három tagjának összege 19, a következő háromé 28; mivel az első számpéldában 28=(19+37)/2, azért a másodikban is csak vagy 6, 27, 48 vagy 6, 42, 78 lehet a felbontandó számhármas. (Az utolsóknak tetszetős kiindulásával ‐ hogy ti. 1‐1 számjegy-cserével kaphatók az adott számhármasból ‐ szemben áll, hogy ugyanaz lenne az eredmény, mint az első számpéldában, ti. 74 felbontás.) Mindezeket a feladat szövege nem támasztotta alá. Pl. az első számpéldában 9 különböző felsorolás számaiból adódhat ki 19, 28 és 37, de tagjaik közül egyetlenegy sem egész szám.