A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Legyen a kérdéses felbontások tagjaiból képezett, az előírásnak megfelelő felsorolás (számsorozat) középső ‐ ötödik ‐ tagja és a szomszédos tagok különbsége (úgy értve, hogy mindig pl. a később álló tagból vonjuk ki az előtte állót). Ekkor a felsorolás tagjai | | (1) | Nevezzük együtthatóját az illető tag indexének. A 9 tag összege , és ez egyenlő a felbontandó számok összegével, -gyel, innen . Legyen a , , felbontásából eredő 3‐3 tag indexének összege rendre , , , így e tagok összege rendre , , ill. , tehát
Ezek szerint, ha a 9 indexet úgy rendezzük 3 háromtagú csoportba, hogy a 3 index összege egyik csoportban , egy másikban pedig -tól különböző ‐ amikor persze a hátra levő csoportban az utóbbi összeg -szerese az összeg, hiszen a 9 index összege , ‐ akkor a -tól különböző összeget -nak véve és kiszámítva (4)-ből a közös különbséget, majd (1) tagjait, (2) szerint az összegű indexhármashoz tartozó 3 tagja a felsorolásnak -et ad összegül, a -összeget adó indexhármashoz tartozók -at, a maradó 3 tag pedig -et. Pl. a | | (5) | index-elrendezés megfelel (3)-nak, , és a felsorolás tagjai (közös nevezőre hozva), majd számaink felbontásai:
Ha (5) utolsó csoportját vesszük nak, , a (6) felsorolás és a (7) felbontások tagjait fordított sorrendben kapjuk, ez azonban nem tekintendő új megoldásnak. (6)-ra vezet az indexek következőkét csoportosítása is: | |
II. A felbontások számának megállapításához nincs szükség a 9 index minden lehetséges elrendezésének felírására, elég előállítani a -összegű, -ként felhasználandó indexhármasokat. Könnyű belátni, hogy ezek a következők:
számuk 8. Ugyanis bármelyikükből kiindulva a második, -ként felhasználandó indexhármast ‐ mint alább megmutatjuk ‐ a maradó 6 indexből 20-féleképpen állíthatjuk össze, amivel az elrendezést is meghatároztuk, tagjai a föl nem használt indexek lesznek. Az így gondolható csoportosítás közül azonban nem adnak megoldást, (1) alakú felsorolást azok, amelyekben , vagyis . A (8) hármasokból lényegében két ilyen csoportosítás képezhető:
(A index miatt (8) első sora valamelyik hármasának szerepelnie kell, viszont a és hármasoknak mindegyik további hármassal van közös indexe, ezért típusú elrendezésben nem léphetnek fel.) A (9) elrendezések mindegyike különböző sorrendben lép fel a fenti 160 csoportosításban aszerint, hogy a 3 hármas melyike kapja , ill. szerepét: -t 3-féleképpen, -at 2-féleképpen választhatjuk. Ezek szerint a 9 indexnek elrendezésében teljesül a (3) föltétel. Ezek ‐ a bemutatott példa szerint ‐ páronként ugyanazt a felbontást adják a , , számokra, így a kívánt felbontások száma . III. Hátra van még annak belátása, hogy 6 különböző index közül valóban 20-féleképpen választhatjuk tagjait. Az elsőt 6-féleképpen, a maradók közül a másodikat 5-, a harmadikat 4-féleképpen, és mindegyik utóbbi megválasztás az előbbiek mindegyikével összekapcsolható. Az így adódó lehetőségben azonban minden egyes számhármast 6-szor vettünk figyelembe, ahány különböző sorrendben 3 különböző elem felírható ‐ amint ezt a (9)-hez fűzött meggondolásban láttuk ‐, ezért a csupán sorrendi különbözőségektől eltekintve valóban a keresett szám. IV. A , , számok felbontásainak számát hasonlóan kereshetjük. Minden felsorolás középső tagja . Ekkor | | () | így (3) helyére a következő föltétel lép: A legkisebb három index összege , a legnagyobb háromé , így , , , ezért lényegében csak , , lehetséges, hiszen láttuk, hogy mindegyik indexösszegnek -gyel való szorzása csak sorrendi változást okoz a felbontásokban. Ekkor , számainkat csak a | | (10) | felsorolás számaiból állíthatjuk elő. Mármost kevés próbálgatás mutatja, hogy a következő 6 index elrendezés ad megoldást: | | vagyis a megoldások száma 6. Pl. a negyedik sor szerint (10)-ből: | |
Koren András (Budapest, I. István g. III. o. t.) Zöldy Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.) Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. g. I. o. t.) Megjegyzés. A nem teljes és a hibás dolgozatokban gyakori, hogy a szerző többletkövetelményt állít fel. Ilyenek: a felbontás tagjai egész számok; a felsorolás első három tagjának összege , a következő háromé ; mivel az első számpéldában , azért a másodikban is csak vagy , , vagy , , lehet a felbontandó számhármas. (Az utolsóknak tetszetős kiindulásával ‐ hogy ti. 1‐1 számjegy-cserével kaphatók az adott számhármasból ‐ szemben áll, hogy ugyanaz lenne az eredmény, mint az első számpéldában, ti. felbontás.) Mindezeket a feladat szövege nem támasztotta alá. Pl. az első számpéldában 9 különböző felsorolás számaiból adódhat ki , és , de tagjaik közül egyetlenegy sem egész szám.
|