|
Feladat: |
1129. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bálványos Z. , Csobádi P. , Fuggeth Endre , Greskovits József , Gulyás András , Gulyás Imre , Hárs L. , Lempert L. , Morvai I. , Nagy Dénes , Pap Márta , Papp Z. , Somorjai G. , Szendrényi T. , Takács L. , Tóth Tibor , Váradi Judit |
Füzet: |
1968/február,
68 - 71. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Mértani közép, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/április: 1129. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Ha , akkor átmérő és a szerkesztés magától értetődő. Ha , válasszuk a betűzést úgy, hogy a két szélső húr közül legyen a kisebbik: (1. ábra).
1. ábra Ekkor közelebb van a velük párhuzamos átmérőhöz, mint , ezért mindenesetre azon a partján van -nek, mint . Legyen és közti távolság , az és közti távolság , ekkor -től a húr , a húr pedig távolságra van. Pitagorasz tétele alapján
Innen -t és -t kiküszöbölhetjük úgy, hogy kivonjuk (1) és (3) összegéből (2) kétszeresét:
ekkora az és húr távolsága. 2. A szerkesztés a következő.
2. ábra Egy csúcsú derékszög (2. ábra) két szárára felmérjük , ill. szakaszt, a szakasz fölé Thalész-félkört írunk, kijelöljük rajta a szakasz felező merőlegesén levő pontot (-et már a középpont szerkesztésében használtuk), az félegyenest metsszük a körüli sugarú körrel a pontban. Fölmérjük az egyenesre az , valamint a vele párhuzamos, -n átmenő egyenesre a szakaszt, ekkor a keresett kör középpontját az szakasz felező merőlegese metszi ki -ből, sugara pedig . 3. A szerkesztésből nyilvánvaló, hogy , a -nak párhuzamos és , ill. hosszúságú húrja, mert merőlegesek -re; azt kell csak bebizonyítanunk, hogy az -nek felezőpontján át velük párhuzamosan húzott ‐ és így -tól és -től egyenlő távolságra levő ‐ egyenes -ból hosszúságú húrt metsz ki. Legyen a húr , felezőpontja . A szerkesztés szerint , egyenlő szárú derékszögű háromszög, így , tehát , megfelel (4)-nek. a félegyenesen van, így , . Mármost
és ez a szerkesztés helyes voltát bizonyítja. 4. A szerkesztés végrehajtható, ha (4)-ben . (Nem elég tehát, hogy hosszabb legyen és alapokból szerkesztett szimmetrikus trapéz középvonalánál. A kapott korlát ugyanis nagyobb a középvonal négyzeténél: | | A feltétel teljesülése esetén megoldást kapunk. Fuggert Endre (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.) II. megoldás. 1. Legyenek a húrok rendre , , , és messe az -t -ban, -t -ben (3. ábra).
3. ábra Az és háromszögek hasonlók, mert szögeik páronként egyenlők, így
azaz mértani középarányos és között. Másrészt a trapéz középvonala, és az alakzat szimmetrikus a húrok közös felező merőlegesére, mint tengelyre nézve. 2. Ezek alapján a szerkesztés a következő. A szakasz felezőpontjától felé fölmérjük az , szakaszokat. -ben és -nek felezőpontjában merőlegest rajzolunk -re és az utóbbit metsszük a átmérő fölötti Thalesz-körrel az pontban. Ekkor a körüli, sugarú kör az előbbi merőlegesből kimetszi -t, -nak -gyel való másik metszéspontja és a keresett kör az háromszög köré írt kör. 3. Bizonyításul elég azt megmutatnunk, hogy átmegy -n is. Ekkor ugyanis az -ben -re állított merőleges szimmetriatengelye -nak, ezért -nak és -nek -re vetett , ill. tükörképe is rajta van -n, és párhuzamosak -vel, mert merőlegesek -re, , ‐ ugyanis , hiszen a háromszög egybevágó az derékszögű háromszöggel ‐, végül ugyanezért egyenlő távolságra van -től és -től. ‐ Állításunk abból következik, hogy az ismert mértani középarányos szerkesztés miatt teljesíti (5) jobb oldali egyenlőségét, ezért a bal oldali egyenlőség is fennáll, így a -nál egyenlő (csúcs-) szögekkel bíró , háromszögek hasonlók, . 4. A szerkesztés végrehajtható, ha , azaz ‐ pozitív szakaszokról lévén szó ‐, ha
ami azonos feltétel az I. megoldásban találttal. A feltétel teljesülése esetén egyetlen és (lényegében egyetlen) pontot kapunk. Greskovits József (Budapest, Könyves Kálmán g. II. o. t.)
|
|