Kezdőlap


Feladat:	1127. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1968/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 1127. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $F$ , $G$ pontpár egymás tükörképe a kiindulási ötszög $D$ -ből kiinduló szimmetriatengelyére, mert (1) és (2) szerint ez áll a szerkesztésükben felhasznált $C$ , $E$ , valamint $B$ , $A$ pontpárra, és így a $D C$ , $D E$ , ill. $D B$ , $D A$ egyenes párokra is. Ugyanezért, (3) szerint $H$ rajta van a mondott tengelyen, tehát $F G ⊥ D H$ . Mivel $J$ , $H$ , $K$ a (4) szerint egy a $D H$ -ra merőleges egyenes pontjai, azért csak azt kell eldöntenünk, merőleges-e $F H$ a $D H$ -ra. Igenlő válasz esetén a kérdéses $5$ pont egy egyenesen van.
Mármost $B F D ∢ = B D C ∢$ , mert merőleges szárú szögek és mindkettő hegyesszög (ugyanis az előbbi a $B D F$ derékszögű háromszög szöge, az utóbbi pedig az ötszög köré írt kör félkörnél kisebb $B C$ ívének látószöge egy a nagyobb $B C$ íven levő pontból.
Ugyanígy $B H D ∢ = E B A ∢$ , továbbá az utóbbi az ötszög szabályos volta miatt egyenlő a fenti $B D C ∢$ -gel, ezért $B H D ∢ = B F D ∢$ , tehát $B H F D$ húrnégyszög. Ekkor pedig $F H D ∢ = F B D ∢$ derékszög, tehát az előrebocsátottak szerint az $5$ pont egy egyenesen van.
Az (5) feltételeket nem kellett felhasználnunk.

II. megoldás. Messe a

C D

-re

D

-ben és a

B D

-re

B

-ben emelt merőleges az ötszög köré írt kört

C'

-ben, ill.

D'

-ben. Ezek a kör

C

-vel, ill.

D

-vel átellenes pontjai, így egyrészt

C' A C ∢ = 90^{\circ}

, tehát

H

-t a

C' A

egyenes metszi ki

D D'

meghosszabbításából, másrészt

C'

és

D'

felezi a

C

-t nem tartalmazó

A E

ívet, ill. a

D

-t nem tartalmazó

A B

ívet, harmadrészt

D C' D' ∢ = 90^{\circ}

. Tükrözzük az ábrát a

C' D'

szakaszra. Megmutatjuk, hogy ekkor a

B D F

háromszög a

H F D

háromszögbe megy át. Ebből már következik

D H F ∢ = F B D ∢ = 90^{\circ}

, és ebből az, hogy az öt pont egy egyenesen fekszik.
A

D D' F

háromszög egyenlő szárú, mert egyrészt

D' D F ∢

a kör ötödrészét kitevő

C' D'

ívén nyugszik, így

36^{\circ}

-os, a

B F D ∢

pedig a kör

3 / 10

-részényi

B C'

ívén nyugvó

B D F ∢

pótszöge, s így szintén

36^{\circ}

-os. Így

D

tükörképe

C' D'

-re

F

, és a

D D'

egyenes tükörképe az

F D'

egyenes.

H

tükörképe tehát az utóbbi egyenes metszéspontja

C' A

tükörképével. Azonban

C' D'

felezi az

A C' B ∢

-et, mert

D'

felezi az

A B

ívet. Így

A C'

tükörképe

B C'

, a

H

ponté tehát

B

, és ezzel állításunkat igazoltuk.

Megjegyzés. Az érdeklődők vessék egybe a bizonyítottakat az 1440. feladatban megrajzolt vetület (K. M. L. 34 (1967) 98. o.)

H_{7} H_{9} H_{1} H_{3} H_{5} C_{6} C_{9} G_{7} G_{9} G_{8}

pontrendszerével.