|
Feladat: |
1126. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bajmóczy E. , Békéssy P. , Bencze Júlia , Bense Magdolna , Borzsák P. , Bosznay Á. , Cserháti A. , Dévényi K. , Feind F. , Forrás L. , Fuggerth E. , Gál Éva , Garzó G. , Győry F. , Hárs László , Hernádi J. , Horváth László , Kaján L. , Kálmán M. , Kardos J. , Kóczy L. , Komjáth P. , Lempert L. , Molnár László , Papp Z. , Pataki János , Pintér Vera , Prőhle Sarolta , Schván P. , Siegler A. , Siklósi M. , Simon Júlia , Somogyi Á. , Somorjai G. , Stefanovicz K. , Szengofszky O. , Váli L. , Zambó Péter |
Füzet: |
1968/február,
67 - 68. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/április: 1126. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feltevés szerint -nek -beli érintője átmegy -nek középpontján, -nek -beli érintője pedig -nek középpontján, vagyis . A közös húr egyenese merőleges az szimmetriatengelyre, így azt kell belátnunk, hogy merőleges -re, más szóval hogy az háromszög -nál és -nél levő szögei egymásnak pótszögei.
Legyen a tengelynek és -nek -n kívül fekvő metszéspontja. Ekkor az , pontpár közt fekszik, hiszen az egyenes elválasztja -t -től. Így, mivel és egyenlő szárú háromszög,
amit bizonyítani akartunk. Ha pedig a tengelynek és -nek -n belül fekvő metszéspontját tekintjük, akkor -nek -n túli meghosszabbítása metszi -t -ben. az szakaszon van, így az előbbi számításhoz hasonlóan
vagyis az állítás a tengely és mindegyik metszéspontjából kiindulva érvényes. Prőhle Sarolta (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.) II. megoldás. A körök merőlegességéből következik, hogy -ben húzott érintője átmegy középpontján, -en. Ezt felhasználva azt fogjuk megmutatni, hogy a közös húrra merőleges egyenes párhuzamos a -ben húzott érintővel (ami viszont merőleges a kérdéses átmérőjére). Legyen az utóbbi érintő metszéspontja -mel . Az és háromszögek egyenlő szárúak, mert az előbbinek két oldala sugara, az utóbbié pedig a -ből -höz húzott érintőszakaszok. A két háromszög -nél levő szöge egyenlő, mert ha a centrálisnak és -nek -n kívüli metszéspontja, akkor csúcsszögek, ha pedig a -be eső metszéspont (az ábra pontja a megfelelő és ponttal), akkor egybeesnek. Így egyenlők a másik szárral szemközti szögek is a két háromszögben: | | Ezek a szögek tehát az első esetben váltószögek, a második esetben egyállású szögek, ebből pedig az állított párhuzamosság következik. III. megoldás. Tovább használjuk a fenti jelöléseket, valamint azt a megállapítást, hogy az derékszög. Fordítsuk el -et körül a helyzetbe úgy, hogy -nek új, helyzete az félegyenesre jusson. E forgatás szöge derékszög, így -nak és -nek új, , ill. helyzete az , ill. egyenesen adódik, hiszen a átmérője, tehát Thalész tétele miatt az szög is derékszög; továbbá . Másrészt a -nek nagyított képe az hasonlósági középpontra nézve, így képe és metszéspontja, , ugyanígy képe . Eszerint -nek -ből (-ből) kiinduló átmérője párhuzamos -nak -ból (-ból) kiinduló átmérőjével, tehát merőleges -re. IV. megoldás. Legyen -nek az egyenesen levő átmérője , ahol , továbbá a két adott kör sugara , ill. . Megmutatjuk, hogy az -nál közös szöggel bíró és háromszögek hasonlók; ebből már következik, hogy , ami a feladat állítása. nek -ból húzott szelőire . Ehhez
ennélfogva
állításunk tehát helyes. Hárs László (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)
|
|