Kezdőlap


Feladat:	1124. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Faragó István , Pap Györgyi
Füzet:	1968/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 1124. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $x^{3} + y^{3}$ összeg kifejezhető $x + y$ és $x^{2} + y^{2}$ felhasználásával, a következő azonosságok alapján:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) és \\ x y = ({(x + y)}^{2} - (x^{2} + y^{2})) . \end{matrix}

x

és

y

olyan értékek, amelyekre (1)‐(3) fennáll, akkor behelyettesítéssel és átrendezéssel kapjuk, hogy

a

b

c

közt fenn kell állnia a következő összefüggésnek:

\begin{matrix} a^{3} - 3 a b + 2 c = 0. \end{matrix}

(4)

Faragó István (Budapest, Könyves Kálmán g. II. o. t.)

II. megoldás. (1) és (2) szorzata alkalmas csoportosítással:

\begin{matrix} a b = (x + y) (x^{2} + y^{2}) = (x^{3} + y^{3}) + x y (x + y) . \end{matrix}

(5)

Vegyük még a következő azonosságot

\begin{matrix} a^{3} = {(x + y)}^{3} = (x^{3} + y^{3}) + 3 x y (x + y) . \end{matrix}

Ebből (5) háromszorosát kivonva az

x y

-os tag kiesik:

\begin{matrix} a^{3} - 3 a b = - 2 (x^{3} + y^{3}) = - 2 c, \end{matrix}

és ez azonos (4)-gyel.
Pap Györgyi (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)

III. megoldás. A fenti célszerű ügyeskedéseken kívül a szokásos kiküszöbölés is célhoz vezet.

y = a - x

-et helyettesítve (2)-be és (3)-ba:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + {(a - x)}^{2} - b = 0, & x^{3} + {(a - x)}^{3} - c = 0, & (6) \\ 2 x (x - a) + a^{2} - b = 0; & 3 a x (x - a) + a^{3} - c = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Végül a balról álló egyenlőség

3 a

-szorosából kivonva a jobbról állónak a 2-szeresét, ismét megkapjuk (4)-et.

Megjegyzés. A kérdés lényege az, hogy (1)‐(3)-at

x

y

-ra vonatkozó egyenletrendszernek tekintve 3 egyenletünk van, ami csak a talált (4) föltétel teljesülése esetén nem ellentmondó.