Feladat: 1123. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bulkai Tamás 
Füzet: 1968/január, 22 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Egyenesek egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/április: 1123. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Rendezzük az I. rendszer (2) és (3) egyenlőtlenségét is (1)-hez hasonlóan, vagyis úgy, hogy egyik oldalukon csak y álljon:

y>x-3,(2')y<4-x.(3')


(1)-nek eleget tesznek az y=3 ordinátájú pontokból álló egyenes alatt fekvő pontok koordinátái, tekintet nélkül abszcisszájukra. Más szóval azok a pontok felelnek meg (1)-nek, amelyek az y=3 egyenessel kettévágott síknak azon a felén vannak, mint az origó. Az egyenes pontjai nem tartoznak hozzá a félsíkhoz. Hasonlóan (2') az x-3 függvény grafikonja fölötti, (3') pedig a 4-x függvény grafikonja alatti pontok koordinátáira teljesül, más szóval az y=x-3, ill. y=4-x egyenessel kettévágott síknak az origót tartalmazó félsíkján levő pontokra (az ábrán a csíkozott határú félsíkok), e határvonalak pontjait nem számítva hozzá a félsíkhoz.
 

 

Ezek szerint az I. rendszert kielégítő pontok a síknak abban a részében vannak, amely mindhárom félsíkhoz hozzátartozik. Ezt az ábrán vastag vonallal határoltuk, de magának a határvonalnak a pontjai nem felelnek meg, koordinátáikra vagy (1)-ben, vagy (2)-ben, vagy (3)-ban egyenlőség teljesül.
Így is mondhatjuk: (1)‐(3)-ban mindenütt egyenlőséget véve, a koordináta‐rendszerben 3 egyenest kapunk, ezek a síkot 7 részre osztják és az ABC háromszöget határozzák meg. Annak a végtelen síkrésznek a belső pontjai felelnek meg, amelybe a háromszögből a BC oldalszakasz átlépésével jutunk (az ábra I. síkrésze). Pl. az origó, a D(-1,15,1,7) pont koordinátáira teljesül I.
II. Vegyük észre, hogy a II. egyenlőtlenség‐rendszerben a szorzatok két‐két tényezője mindig kettő‐kettő azok közül a kifejezések közül, amelyek az I. rendszer egyenlőtlenségei 0-ra redukált alakjának másik oldalán állnak:
y-3<0,(1')x-y-3<0,(2'')x+y-4<0.(3'')

Mármost (4) azoknak a pontoknak a koordinátáira teljesül, amelyekre a bal oldali két tényező egyike sem negatív, valamint, amelyekre egyik tényező sem pozitív:
{mmy-3≧0,x-y-3≧0;(4')
ill.
{mmy-3≦0,x-y-3≦0.(4'')
A fentiekhez hasonló meggondolás adja, hogy (4') első egyenlőtlenségének az ábra VII., III. és V. síkrészeiben fekvő pontok koordinátái tesznek eleget ‐ és csak ezek ‐, a másodiknak pedig a VI., IV. és V. részében fekvőkéi. Eszerint a (4') rendszernek csak az V. rész pontjai tesznek eleget, a határoló félegyeneseket és az A pontot is beleértve. (4'')-nek pedig az I. és II. síkrészek (az V. síkrész csúcsszög‐tartományának) pontjai tesznek eleget, vagyis (4)-nek az I., II. és V. síkrészek pontjai.
Hasonlóan bontható (5) és (6) is két‐két egyenlőtlenségből álló rendszerre, de mindkettőben a két tényező ellentétes jelű (hacsaknem 0):
{mmy-3≧0,x+y-4≦0;(5'){mmy-3≧0,x+y-4≦0;(5''){x-y-3≧0,x+y-4≦0;(6'){x-y-3≧0,x+y-4≦0;(6'')
és ezeknek rendre a következő síkrészek felelnek meg:
(5')-nek VII., (5'')-nek II. és IV., tehát (5)-nek II., IV. és VII; (6')-nek VI:, (6'')-nek II. és III., tehát (6)-nak II., III. és VI.
Mindezek szerint a II. rendszer (4)‐(6) egyenlőtlenségei mindegyikét egyedül a II. síkrész, az ABC háromszög belső pontjainak koordinátái elégítik ki, hozzáértve a háromszög kerületét és csúcspontjait is. Pl. a P (4; 2) pontra (-1)⋅(-1)≧0, (-1)⋅2≦0, (-1)⋅2≦0.
A két eredményt egybevetve: nincs olyan pont, amelynek koordinátái az I. és II. egyenlőtlenség‐rendszerek mindegyikét kielégítenék.
Bulkai Tamás (Győr, Czuczor G. Bencés g. III. o. t.)