A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Ha létezik a kívánt , , , számnégyes, akkor az a polinom-egyenlőség is azonosság, amit (1)-ből a jobb oldal nevezőjével való szorzás útján kapunk (ez a nevező ugyanis egyszersmind a bal oldali nevezők közös többszöröse, ezért a szorzás útján egész kifejezés adódik): | | (1) | hatványai szerint rendezve | | (1) |
Eszerint a két oldalon megfelelő hatványai ugyanavval az együtthatóval kell szerepeljenek, és az -et nem tartalmazó tagoknak is egyenlőknek kell lenniük:
Vonjuk ki (3)-ból egyrészt (2) kétszeresét, másrészt (4)-et:
(5) és (6) alapján , így (2)-ből , (7)-ből , végül (6)-ból . Eszerint a kívánt számnégyes létezik, és (1) így lesz azonosság: | |
Varga Katalin (Veszprém, Lovassy L. g. II. o. t.) Megjegyzés. Úgy is kaphatunk egyenletrendszert az , , , számokra, ()-ből, ha helyére megengedett (azaz -től különböző) számokat helyettesítünk. Könnyű a számítás, ha kicsi abszolút értékű egész számokat veszünk, legyen és (négy egyenletre van szükség):
Vonjuk ki (8)-ból (5) 4-szeresét, (9)-ből (5) 9-szeresét, és (10)-ből (5)-öt:
Adjuk hozzá (13)-at (11)-hez és (12)-höz: , azaz , ill. , , így (13)-ból és (5)-ből . Kövesi Gusztáv (Budapest, I. István g. II. o. t.) Faragó István (Budapest, Könyves Kálmán g. II. o. t.) II. Megoldás. Ha (1) fennáll, akkor | | (14) | Ehhez az kell, hogy a jobb oldal -gyel szorozva polinommá váljon, vagyis hogy egyszerűsíthető legyen -gyel. A számláló akkor alakítható és egy másik (elsőfokú) polinom szorzatává, ha értéke esetén , hiszen így az tényező lesz. Eszerint , . Valóban, így (14) jobb oldala | | Hasonlóan, (14) első tagját a jobb oldalra víve | | (15) | a jobb oldal számlálójának itt is -t kell adnia esetén, ebből . Ezzel (15) így alakul | | ami akkor áll fenn minden előírt -re, ha , . Megjegyzés. Ez a megoldás rávilágít annak az okára is, hogy lehetséges alkalmas , , , értéket találni. (A fent nyert egyenletrendszerek ugyanis ‐ és minden más hasonlóan nyerhető egyenletrendszer is ‐ lehetnének ellentmondók.) |