Kezdőlap


Feladat:	1117. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy E. , Bauer Katalin , Bérczi Szaniszló , Borzsák P. , Csikvári A. , Csobádi P. , Füredi A. , Gajdács Ibolya , Gál Éva , Gáspár J. , Greskovits J. , Gulyás A. , Gutori L. , Győry Jenő , Gyurmánczi F. , Göndőcs F. , Hárs László , Hornung L. , Kardos J. , Karvaly G. , Kmethy Gy. , Környei M. , Lempert L. , Lőrincz András , Mérő L. , Nagy Dénes , Nagy László , Nagy Zsigmomd , Papp Z. , Pataki János , Pataki Judit , Pete A. , Rákóczi L. , Sághy A. , Simon Júlia , Sólyom M. , Somogyi Á. , Soós M. , Szabados Katalin , Szalay Csilla , Tél T. , Váradi Judit , Várhegyi Éva , Zambó Péter
Füzet:	1968/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1117. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $a$ és $b$ számok így alakíthatók:

\begin{matrix} a & = 2 \sqrt[]{9 + 6 \sqrt[]{10} + 10} - 2 \sqrt[]{9 - 6 \sqrt[]{10} + 10} = 2 (3 + \sqrt[]{10}) - \\ - 2 \cdot | 3 - \sqrt[]{10} | = 12, \\ b & = \sqrt[]{64 + 16 \sqrt[]{101} + 101} - \sqrt[]{101 - 16 \sqrt[]{101} + 64} = \\ = 8 + \sqrt[]{101} - (\sqrt[]{101} - 8) = 16. \end{matrix}

Eszerint

\sqrt[]{b} = 4

a + \sqrt[]{b} = 16 = 4^{2}

és

P

-ben a belső gyökök egymás utáni (más szóval jobbról bal felé való) kiszámítása során minden gyökvonás eredménye 4, tehát

P = 4

II.

P

-nek elsősorban azt a tulajdonságát akarjuk az alkotandó kifejezésbe átvinni, hogy

b

olyan (pozitív) szám, hogy négyzetgyökét

a

-hoz adva visszakapjuk

b

-t:

\begin{matrix} a + \sqrt[]{b} = b, b = {(b - a)}^{2} . \end{matrix}

Ekkor ugyanis a hozzáadás és a négyzetgyökvonás műveletét váltakozva akárhányszor ismételjük, váltakozva két eredmény lép fel:

b

és

\sqrt[]{b}

.
Eszerint

b

, a számpárként megfelel pl. 36 és 30, vagy 25 és 20, vagy

9 / 4

és

3 / 4

stb.
Másrészt az

a

és

b

racionális számokat különbségként akarjuk kapni, pl.

\begin{matrix} a = \sqrt[]{x + \sqrt[]{y}} - \sqrt[]{x - \sqrt[]{y}} \end{matrix}

alakban, ahol

x

y

racionális számok, és

x \pm \sqrt[]{y}

valamely

z

u

(pozitív) racionális számokból képezett

\sqrt[]{z} \pm u

szám négyzete:

z + u^{2} \pm 2 u \sqrt[]{z}

, vagyis

x = z + u^{2}

y = 4 u^{2} z

. Ennek megfelel

u = a / 2

és bármely

z

, ami nagyobb, mint

u^{2}

(másrészt

z

ne legyen teljes négyzet). Pl.

a = 30

-hoz

u = 15

z = 513

y = 259 200

b = 36

-hoz

u = 18

z = 360

x = 684

y = 466 560

, vagyis a fenti

P

kifejezés céljára:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{513 + 360 \sqrt[]{2}} - \sqrt[]{513 - 360 \sqrt[]{2}}, \\ b = 2 \sqrt[]{171 + 54 \sqrt[]{10}} - \sqrt[]{684 - 216 \sqrt[]{10}} . \end{matrix}

Bérczi Szaniszló (Szeged, Ságvári E. gyak. g. III. o. t.)
Várhegyi Éva (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
Lőrincz András (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A

P

-beli összeadás és négyzetgyökvonás helyett más két műveletet is váltakoztathatunk (sőt

2

-nél többet is). Két ilyen példa:

\begin{matrix} R = \sqrt[3]{a^{2} + a \sqrt[3]{a^{2} + ... + a \sqrt[3]{a^{2} + a \sqrt[3]{b}}}}, \end{matrix}

ahol

a^{2} + a \sqrt[3]{b} = b

pl.

b = 8

a = 2

(bár itt a

8

teljes köb);

\begin{matrix} \begin{matrix} S = \frac{1}{a + \frac{1}{a + \frac{1}{a +}}} & , & ha a + \frac{1}{b} = b, \\ vagyis a = b - \frac{1}{b} . \\ . \\ . \\ . \\ + \frac{1}{a + \frac{1}{b}} . \end{matrix} \end{matrix}

Hárs László (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)