Kezdőlap


Feladat:	1116. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy E. , Bálványos Z. , Barbarits András , Bense Magdolna , Borzsák Péter , Ésik Zoltán , Eteli F. , Fialovszky Alice , Fischer Ágnes , Forrás L. , Füredi A. , Gróf P. , Gulyás I. , Győry Ferenc , Győry J. , Gyurmánczi F. , Hadik R. , Hárs László , Jakál L. , Kardos J. , Kemény András , Lempert L. , Lengyel Erzsébet , Lengyel Tamás , Lőrincz A. , Magyarics A. , Maróti Péter , Martoni V. , Máthé Mariann , Móricz P. , Nagy Dénes , Nagy Zoltán , Papp Z. , Pataki István , Pataki János , Pellády J. , Sailer K. , Siklósi M. , Simon Júlia , Somogyi Árpád , Soós Miklós , Szabó László Sándor , Szentmiklósi L. , Tél Tamás , Törő Judit , Zambó Péter
Füzet:	1967/december, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1116. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Több észrevételt is mondhatunk, ami világossá teszi az eredeti állítás helytelen voltát:
1. A bal oldal $p$ -ben $36$ -odfokú, a jobb oldal $68$ -adfokú, márpedig a tetszés szerinti számokkal fennálló egyenlőség azonosság, és két különböző fokszámú polinom nem lehet azonos.
2. $p = 0$ esetén a bal oldal értéke $q^{36}$ , a jobb oldalé $0$ , ezek csak $q = 0$ esetén egyenlők.
3. Egész $p$ , $q$ értékpárokra szorítkozva és $q$ -t páratlannak, $p$ -t bármilyen egésznek választva a két oldal párosságra nézve különböző: páros $p$ esetén $A$ és $D$ páratlanok, $B$ , $C$ , $E$ párosak, így a bal oldal páratlan, a jobb oldal páros; páratlan $p$ esetén pedig csak $B$ páros, így a bal oldal páros, a jobb oldal páratlan. (Tehát a bal oldal mindig ellentétes párosságú, a jobb oldal pedig mindig megegyező párosságú $p$ -vel.)

II. Megmutatjuk, hogy

A^{4} + B^{4} + C^{4} = D^{4} + E^{4}

azonosság.

p = 0

esetén állításunk nyilvánvaló, hiszen

B = C = E = 0

, és

A = D

p \neq 0

esetén az azonosságot

A^{4} - D^{4} = E^{4} - B^{4} - C^{4}

alakban bizonyítjuk. Mivel

A + D = B q / p

A

D = B q / 2 p \pm 12 p^{4} q^{5}

, és

E = B + C

, azért a bal oldal

\begin{matrix} (A - D) (A + D) (A^{2} + D^{2}) & = 24 p^{4} q^{5} \cdot \frac{B q}{p} \cdot 2 (\frac{B^{2} q^{2}}{4 p^{2}} + 144 p^{8} q^{10}) = \\ = 6 B p q^{8} (2 B^{2} + 8 \cdot 144 p^{10} q^{8}), \end{matrix}

a jobb oldal pedig

\begin{matrix} 2 B C (2 B^{2} + 3 B C + 2 C^{2}) = 6 B p q^{8} [2 B^{2} + C (3 B + 2 C)] = 6 B p q^{8} (2 B^{2} + 3 p q^{8} \cdot 3 \cdot 128 p^{9}), \end{matrix}

és ez megegyezik a bal oldalra kapott kifejezéssel, mert

8 \cdot 144 = 9 \cdot 128

.
Pl.

p = q = 1

esetén

75^{4} + 126^{4} + 3^{4} = 51^{4} + 129^{4} = 283 688 082

Győry Ferenc (Debrecen, Fazekas M. g. I. o. t.)
Soós Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)