Kezdőlap


Feladat:	1115. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gajdács Ibolya , Újj Piroska
Füzet:	1967/november, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Esetvizsgálat, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 1115. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak arra vagyunk tekintettel, milyen összeadandókból állítjuk elő a $40$ -et, az összeadandók sorrendjére nem, így növekvő sorrendben fogjuk felsorolni a tagokat. Az előállításokat a tagok száma szerint csoportosítjuk.
Mivel a $40$ páros szám, az összeadandók száma páros lesz és legfeljebb $6$ , mert $8$ különböző pozitív páratlan szám összege már nem kisebb, mint $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64$ .
a) Mivel a tagok különbözők, a kéttagú előállítások első tagja nem érheti el a $40$ felét, vagyis legfeljebb $19$ lehet. $19$ -ig annyi páratlan szám van, mint $20$ -ig páros, ezek száma pedig $20 : 2 = 10$ , ennyi az ilyen előállítások száma.
b) Négytagú előállításokat keresve az első két tagot minden lehetőség szerint megválasztjuk, így ‐ mint majd látjuk ‐ kérdésünk visszavezethető az a) esetre. Legyen először az első két tag $1 + 3 = 4$ . Ekkor a további kettő összege $x + y = 36$ , de mindegyikük nagyobb $3$ -nál, és így a rá következő páros számnál, $4$ -nél is, ezért $x - 4$ és $y - 4$ ismét pozitív páratlan számok, és $(x - 4) + (y - 4) = 40 - 3 \cdot 4 = 28$ . Ezért a fenti meggondoláshoz hasonlóan $\frac{28}{2} : 2 = 7$ előállítást kapunk. Pl. az első, $x - 4 = 1$ esetén $y - 4 = 27$ , és így $40 = 1 + 3 + x + y = 1 + 3 + 5 + 31$ ; az utolsó pedig az $x - 4 = 13$ , $y - 4 = 15$ párból: $1 + 3 + 17 + 19$ .
$5$ -öt véve 2. tagként a $3$ helyett, hasonlóan $x$ , $y > 5 + 1 = 6$ ; $(x - 6) + (y - 6) = 40 - 3 \cdot 6 = 22$ . Itt az első összeadandó legfeljebb $22 : 2 - 1 = 10$ lehet, odáig a páratlan számok száma, a szám egész részének szokásos jelölésével

\begin{matrix} [\frac{(\frac{22}{2} - 1) + 1}{2}] = [\frac{22}{4}] = 5. \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk az

1 + 7

-tel,

1 + 9

-cel,

1 + 11

-gyel kezdődő felbontások számát:

\begin{matrix} [\frac{40 - 3 \cdot 8}{4}] = [\frac{16}{4}], [\frac{10}{4}], [\frac{4}{4}] . \end{matrix}

Célszerű eredményeinket táblázatban gyűjteni, az eddigiek alkotják a táblázat első sorát.

1 + 13

-mal már nem kezdődhet felbontás, mert

1 + 13 + 15 + 17 > 40

.
Első tagként

3

-at véve eddigi meggondolásunkat az alábbiak szerint ismételjük: minden tag nagyobb

2

-nél, így elég a tagok

2

-n felüli részét keresnünk ‐ ami ismét páratlan ‐, ezek összege

40 - 4 \cdot 2 = 32

. A

40

-es szám

3 + 5

-tel,

3 + 7

-tel,

3 + 9

-cel kezdődő felbontásainak száma rendre annyi, mint ahány felbontása kezdődik

32

-nek

1 + 3

-mal,

1 + 5

-tel,

1 + 7

-tel, vagyis rendre

[\frac{32 - 3 \cdot 4}{4}] =

= [\frac{20}{4}], [\frac{14}{4}], [\frac{8}{4}]

(táblázatunk 2. sora).
Első tagként

5

-öt,majd

7

-et véve az iménti

32

helyére

40 - 4 \cdot 4 = 24

, majd

16

lép, és a táblázat 3., majd 4. sorába rendre a

[\frac{24 - 12}{4}]

[\frac{24 - 18}{4}]

, ill.

[\frac{16 - 12}{4}]

szám jut. Ezzel befejeztük a négytagú előállítások megszámlálását, hiszen első tagként

9

-cel próbálkozva már legalább

48

-at kapnánk összegül.

\begin{matrix} második tag \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ el- & 1 & 7 & 5 & 4 & 2 & 1 \\ ső & 3 & \times & 5 & 3 & 2 & - \\ tag & 5 & \times & \times & 3 & 1 & - \\ 7 & \times & \times & \times & 1 & - \end{matrix} \end{matrix}

c) A hattagú felbontások számbavételét az első

4

tag megválasztásával kezdjük.

1 + 3 + 5 + 7

-tel kezdve az utolsó két tagra

x + y = 24

és

x

y > 8

, így

(x - 8) + (y - 8) = 8

. Ilyen felbontás a fentiek mintájára

2

van: az

1 + 7

-ből és

3 + 5

-ből adódó

x + y = 9 + 15

és

11 + 13

. Másképpen nem is választható az első négy tag, ugyanis már

1 + 3 + 5 + 9 + 11 + 13 > 40

.
Mindezek szerint a kívánt előállítások száma

10 + 34 + 2 = 46

Újj Piroska (Nagybátony-Bányaváros, g. II. o. t.)
Gajdács Ibolya (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)