Kezdőlap


Feladat:	1113. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lengyel Tamás
Füzet:	1967/december, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1113. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az előírás szerint $E$ és $F$ , valamint $H$ és $G$ tükrös pontpár az $A B$ oldal $f$ felező merőlegesére nézve (1. ábra). Ezért az $E G$ , $F H$ szakaszpár is egymás képe, és $J$ rajta van $f$ -en; így $f$ a V-nek is tengelye. $B F < B E$ miatt $E F = x > 0$ , másrészt $D H < D G$ miatt $x < a - x$ , $x < a / 2$ , összefoglalva

\begin{matrix} 0 < x < a / 2. \end{matrix}

(1)

A kérdéses arány

\begin{matrix} q = \frac{A E}{A B} = \frac{a - x}{2} : a = \frac{a - x}{2 a}, \end{matrix}

és itt

a > a - x > a / 2

, ezért

1 / 2 > q > 1 / 4

1. ábra

b) A V-idom

t

területe az

E F J

egyenlő szárú háromszög területével kisebb, mint az egybevágó

E F C G

és

E F H D

paralelogrammák együttes területe,

2 b x

. Legyen az

E F J

háromszög magassága

m

, ekkor a

G H J

háromszög magassága

b - m

, alapjuk rendre

x

a - 2 x

, s mivel nyilvánvalóan hasonlók:

\begin{matrix} \frac{b - m}{m} = \frac{a - 2 x}{x}, \frac{b}{m} = \frac{a - x}{x}, m = \frac{b x}{a - x} . \end{matrix}

Most már

\begin{matrix} t = 2 b x - \frac{b x^{2}}{2 (a - x)} = \frac{b x (4 a - 5 x)}{2 (a - x)} . \end{matrix}

(2)

c) A

t = a b / 2

követelményből rendezéssel

5 x^{2} - 5 a x + a^{2} = 0

, és

\begin{matrix} x = \frac{a}{2} - \frac{a}{2 \sqrt[]{5}}, (= \frac{a (5 - \sqrt[]{5})}{10} \approx a \cdot 0, 276 ...), \end{matrix}

(3)

ugyanis az egyenlet másik gyöke (1) szerint nem megengedett érték.
A szerkesztésben elég az

E

pontot kitűzni.

a / 4 = c

jelöléssel (3) esetén

\begin{matrix} A E = \frac{a - x}{2} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4 \sqrt[]{5}} = c + \frac{c}{\sqrt[]{5}} = c + \frac{c^{2}}{c \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

(4)

Felhasználjuk, hogy a második tag nevezője könnyen szerkeszthető, mint a

c

és

2 c

befogókkal bíró derékszögű háromszög átfogója, másrészt a második tag és a nevező mértani középarányosa

c

2. ábra

Legyen

A B

első és harmadik negyedelő pontja

P

, ill.

Q

(2. ábra), mérjük föl a

P

-ben állított merőlegesre a

P R = P A

, majd

P

-től

A

irányában a

P S = Q R

szakaszt. Ekkor az

S R

-re

R

-ben állított merőleges

A B

-t a keresett

E

-ben metszi, mert

P R = c

P S = R Q = P R \sqrt[]{5}

P E = P R^{2} / P S = P R / \sqrt[]{5}

, és így

A E = A P + P E

megfelel (4) utolsó előtti tagjának.
d) Tükrözzük az alakzatot az

A B

egyenesre (1. ábra): a pontok tükörképét a pont jele mellé tett

1

-es indexszel jelöljük.

G C = E F = D H = D_{1} H_{1}

miatt

D_{1} H_{1} C G

paralelogramma, és

D_{1} G

oldala átmegy

E

-n,

H_{1} C

oldala

F

-en. Hasonlóan

D G_{1}

, ill.

H C_{1}

átmegy

E

-n, ill.

F

-en. Legyen az

A B

C D

szakasz felezőpontja

K

, ill.

L

. Ha

E

A K

szakaszon

K

-tól

A

felé mozog, akkor

J_{1}

K L_{1}

szakaszon

K

-tól

L_{1}

felé fut. A V alakú idom területe egyenlő a

C D E F

trapéz és a

G_{1} H_{1} J_{1}

háromszög területének a különbségével.

E

fenti mozgása során a trapéz területe nő ‐ hiszen

C D

és a magasság változatlan,

E F

nő ‐ a háromszög területe pedig csökken ‐ mert

J_{1} L_{1}

és

H_{1} G_{1} = H G = C D - 2 E F

csökken ‐ a V-idomterülete tehát nő. Így annak sem a minimuma, sem a maximuma nem létezik. ‐ Nem lehet ugyanis sem

x = 0

, sem

x = a / 2

, így pedig bármilyen megengedett

x_{0}

-hoz (azaz ha

0 < x_{0} < a / 2

) tartozó

t_{0}

területet tekintjük is, bármely

0

és

x_{0}

közti

x_{1}

-hez

t_{1} < t_{0}

és bármely

x_{0}

és

a / 2

közti

x_{2}

-höz

t_{2} > t_{0}

terület tartozik.

Lengyel Tamás (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)