Kezdőlap


Feladat:	1110. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bauer Katalin
Füzet:	1968/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 1110. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C C_{1}$ és $C C_{2}$ egyenesek közti szög derékszög, mert a felezett szögek együtt egyenesszöget alkotnak. Továbbá $C C_{1}$ megfelezi az $A B C$ háromszög köré írt $k$ körnek az $A C B$ szög szárai közé eső ívét is, mert az íven levő pontját $F_{1}$ -gyel jelölve az $F_{1} C A$ és $F_{1} C B$ kerületi szögek egyenlők, tehát a száraik közti $F_{1} A$ , $F_{1} B$ ívek is.

Ezekből Thalész tételének megfordítása alapján következik, hogy a

C_{2} C

szakasz meghosszabbítása átmegy az

F_{1}

-ből kiinduló átmérő

F_{2}

végpontján. Ez az átmérő viszont felező merőlegese az

A B

oldalnak, és így azt

C_{0}

ban metszi. (

A C > B C

miatt a szögfelezőre ismert tétel szerint

A C_{1} > B C_{1}

, és

B C_{1} C ∢ < 90^{\circ}

. Így a pontok sorrendje

C_{0}

C_{1}

C_{2}

.)
Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen végezhető. Egy

C

csúcsú derékszög két szárára fölmérjük a

C C_{1}

C C_{2}

szakaszt, a

C_{1} C_{2}

egyenest metsszük a

C

körüli,

C C_{0}

sugarú körrel, és

C_{0}

-nak vesszük a

C_{1} C_{2}

szakasz

C_{1}

en túli meghosszabbítására eső metszéspontot.

C_{0}

-ban merőlegest állítunk

C_{1} C_{2}

-re, ennek metszéspontja a

C C_{1}

C C_{2}

egyenessel

F_{1}

, ill.

F_{2}

. Végül az

F_{1} F_{2}

átmérő fölötti

k

Thalész‐körrel a

C_{1} C_{2}

egyenesből kimetsszük

A

-t és

B

-t, közülük

B

C

-hez közelebbi metszéspont.
Az

A B C

háromszög megfelel a követelményeknek, mert

C_{0}

felezi

A B

-t,

k

áthalad

C

-n, hiszen

F_{1} C F_{2}

derékszög, ezért

A B C

k

körbe írt háromszög,

C_{1}

, mint a

C F_{1}

húr pontja,

k

belsejében van,

C_{2}

viszont

k

-n kívül.

F_{1}

felezi az

A B

ívet, és így

C F_{1}

, azaz

C C_{1}

felezi az

A C B

szöget,

C C_{2}

pedig külső (mellék-) szögeit, mert

C_{1} C C_{2}

derékszög. Végül a

C C_{0}

C C_{1}

C C_{2}

szakaszokat közvetlenül fölmértük.

A

és

B

létrejön, ha

F_{1}

C_{1} C_{2}

egyenes

C

-t nem tartalmazó partján adódik, aminek feltétele, hogy

C C_{0} > C C_{1}

legyen. Ha ez teljesül, a megoldás egyértelmű.
Bauer Katalin (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A

C

C_{1}

C_{2}

C_{0}

pontok fenti előállítása után befejezhetjük a szerkesztést a szögfelező osztásarányára ismert

C_{1} A : C_{1} B = C A : C B

, valamint a külső szögfelezőre ugyanúgy bizonyítható

C_{2} A : C_{2} B = C A : C B

tétel alapján is. Ezekből,

A C_{0} = C_{0} B

fölhasználásával

\begin{matrix} C_{1} A : C_{1} B = C_{2} A : C_{2} B, \\ (A C_{0} + C_{0} C_{1}) : (A C_{0} - C_{0} C_{1}) = (A C_{0} + C_{0} C_{2}) : (C_{0} C_{2} - A C_{0}), \\ A C_{0}^{2} = C_{0} C_{1} \cdot C_{0} C_{2}, \end{matrix}

vagyis az

A B

oldal fele mértani középarányos a

C_{0} C_{1}

C_{0} C_{2}

szakaszok között.
Eszerint a

C_{0} C_{2}

átmérő fölötti Thalész‐kör és a

C_{1}

-ben

C_{1} C_{2}

-re állított merőleges metszéspontját

D

-vel jelölve,

A

-t és

B

-t a

C_{0}

közepű,

C_{0} D

sugarú kör metszi ki a

C_{1} C_{2}

egyenesből. ‐ Másképpen:

C_{0} A

-t megadja a

C_{0}

-ból a

C_{1} C_{2}

átmérőjű körhöz húzott érintő

C_{0} E

hossza.