A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Fordítsuk meg a feladatot, tekintsük adottnak a beírt kört és ennek pontjában az érintőt, és kérdezzük, szerkeszthetők-e köré olyan háromszögek, melyeknek , csúcsa -n van, bennük -nek -től mért távolsága egyenlő a sugár -szeresével, továbbá egymás után teljesülnek az I‐III szögfeltételek. Ha ugyanis ez az háromszög megszerkeszthető, akkor az háromszög is, mert hasonlók, tehát a keresett háromszögek egyszerű nagyítással vagy kicsinyítéssel (hasonlósági transzformációval) megkaphatók. Ha viszont az háromszög nem szerkeszthető, akkor az háromszög sem. Legyen -nak -vel átellenes pontja és tükörképe -re az egyenes; -nek ezen kell rajta lennie.
1. ábra Az I. esetben a háromszög egyenlő szárú, , -t az egyenes metszi ki -ből (1. ábra). a -ra nézve külső pont, és távolabb van -től, mint , ezért a -ből -hoz húzott érintők két oldalán metszik -t, az , metszéspontokkal és -vel meghatározott háromszög a belsejében tartalmazza -t, és nyilvánvalóan megfelel. A II. esetben legyen -nak -vel párhuzamos átmérője , a -beli érintőnek -vel és -fel való metszéspontja , ill. , és a -ből húzott második érintőnek -vel való metszéspontja , így az háromszög nyilvánvalóan megfelelő (2. ábra).
2. ábra 3. ábra A III. esetben , a kör középpontja és a , befogón levő , ill. érintési pontja egy négyzet csúcsát adja (3. ábra), így -nek az körüli sugarú körön kellene lennie (ennek sugara egyenlő a 2. ábra szakaszával). Ennek azonban nincs közös pontja -fel, , tehát ilyen háromszög nem szerkeszthető. Ezzel a feladatot megoldottuk, az I‐II. esetekben válaszunk igenlő, a III. esetben tagadó.
Kőnig Imre (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)
II. megoldás. Legyen a keresett háromszögbe írható kör sugara , akkor a feladat szerint a csúcshoz tartozó magasság . Ismeretes, hogy , ahol a háromszög kétszeres területe esetünkben , tehát amit -val osztva és rendezve kapjuk, hogy Mármost az I. esetben . A II. esetben Pitagorasz tétele szerint így (1) alapján majd ismét (1) alapján , . A III. esetben Pitagorasz tétele szerint , másrészt átalakítással, majd (1)-et felhasználva | | tehát nincs a feladatnak eleget tevő háromszög. Az I‐II. esetben tehát a keresett háromszög megszerkeszthető a további két oldala alapján, a III. esetben viszont nincs megoldása a feladatnak.
Hadik Róbert (Makó, József A. g. I. o. t.) Kálmán Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)
|