Kezdőlap


Feladat:	1104. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hadik Róbert , Kálmán Miklós , Kőnig Imre
Füzet:	1967/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Terület, felszín, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1104. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Fordítsuk meg a feladatot, tekintsük adottnak a beírt $k$ kört és ennek $E$ pontjában az $e$ érintőt, és kérdezzük, szerkeszthetők-e $k$ köré olyan $A' B' C'$ háromszögek, melyeknek $A'$ , $B'$ csúcsa $e$ -n van, bennük $C'$ -nek $e$ -től mért $m_{c}$ távolsága egyenlő a $ϱ$ sugár $4$ -szeresével, továbbá egymás után teljesülnek az I‐III szögfeltételek. Ha ugyanis ez az $A' B' C'$ háromszög megszerkeszthető, akkor az $A B C$ háromszög is, mert hasonlók, tehát a keresett háromszögek egyszerű nagyítással vagy kicsinyítéssel (hasonlósági transzformációval) megkaphatók. Ha viszont az $A' B' C'$ háromszög nem szerkeszthető, akkor az $A B C$ háromszög sem.
Legyen $k$ -nak $E$ -vel átellenes pontja $F$ és $e$ tükörképe $F$ -re az $f$ egyenes; $C'$ -nek ezen kell rajta lennie.

1. ábra

Az I. esetben a háromszög egyenlő szárú,

B' C' = A' C'

C'

-t az

E F

egyenes metszi ki

f

-ből (1. ábra).

C'

k

-ra nézve külső pont, és távolabb van

e

-től, mint

F

, ezért a

C'

-ből

k

-hoz húzott érintők

E

két oldalán metszik

e

-t, az

A'

B'

metszéspontokkal és

C'

-vel meghatározott háromszög a belsejében tartalmazza

k

-t, és nyilvánvalóan megfelel.
A II. esetben legyen

k

-nak

e

-vel párhuzamos átmérője

G H

, a

G

-beli érintőnek

e

-vel és

f

-fel való metszéspontja

A'

, ill.

C'

, és a

C'

-ből húzott második érintőnek

e

-vel való metszéspontja

B'

, így az

A' B' C'

háromszög nyilvánvalóan megfelelő (2. ábra).

2. ábra

3. ábra

A III. esetben

C'

, a kör

O

középpontja és a

C' A

C' B

befogón levő

J

, ill.

K

érintési pontja egy négyzet

4

csúcsát adja (3. ábra), így

C'

-nek az

O

körüli

\sqrt[]{2} ϱ

sugarú

k'

körön kellene lennie (ennek sugara egyenlő a 2. ábra

O A'

szakaszával). Ennek azonban nincs közös pontja

f

-fel,

\sqrt[]{2} ϱ < 3 ϱ

, tehát ilyen háromszög nem szerkeszthető.
Ezzel a feladatot megoldottuk, az I‐II. esetekben válaszunk igenlő, a III. esetben tagadó.

Kőnig Imre (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)

II. megoldás. Legyen a keresett háromszögbe írható kör sugara

ϱ

, akkor a feladat szerint a

C

csúcshoz tartozó magasság

m_{c} = 4 ϱ

. Ismeretes, hogy

ϱ = \frac{2 t}{a + b + c}

, ahol a háromszög

2 t

kétszeres területe esetünkben

2 t = c \cdot m_{c} = 4 ϱ c

, tehát

\begin{matrix} ϱ (a + b + c) = 4 ϱ c, \end{matrix}

amit

ϱ (> 0)

-val osztva és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} a + b = 3 c . \end{matrix}

(1)

Mármost az I. esetben

a = b = 3 c / 2

.
A II. esetben Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b), \end{matrix}

így (1) alapján

\begin{matrix} a - b = \frac{c^{2}}{a + b} = \frac{c^{2}}{3 c} = \frac{c}{3}, \end{matrix}

majd ismét (1) alapján

a = 5 c / 3

b = 4 c / 3

.
A III. esetben Pitagorasz tétele szerint

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, másrészt átalakítással, majd (1)-et felhasználva

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}}{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2} = \frac{9}{2} c^{2}, \end{matrix}

tehát nincs a feladatnak eleget tevő háromszög.
Az I‐II. esetben tehát a keresett háromszög megszerkeszthető a további két oldala alapján, a III. esetben viszont nincs megoldása a feladatnak.

Hadik Róbert (Makó, József A. g. I. o. t.)
Kálmán Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)