Feladat: 1103. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Várhegyi Éva ,  Vitályos Gábor 
Füzet: 1968/január, 19 - 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani helyek, Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 1103. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABCD=N négyzetlemez S síkjától 5 cm-re levő pontok két vele párhuzamos, tőle 5 cm távolságra levő S1, S2 síkon vannak. Ezeknek minden olyan P pontja, amelynek S-en levő P' vetülete N belsejébe vagy a kerületére esik magától N-től is 5 cm-re van, mert N-nek P'-től különböző pontjaitól való távolsága nagyobb, mint 5 cm. Így e P pontok hozzátartoznak a keresett mértani helyhez. A mondott P pontok S1-en és S2-n kitöltik azt az N-nel egybevágó A1B1C1D1, ill. A2B2C2D2 négyzetet, melyek egymás utáni oldalegyeneseit az S-re merőleges és rendre az AB-n, BC-n, CD-n, ill. DA-n átmenő sík metszi ki. Hasonlóan látjuk be, hogy S1 és S2 további pontjai 5 cm-nél nagyobb távolságra vannak N-től.

 


 

 

Az N valamelyik oldalegyenesétől, mondjuk AB-től, 5 cm távolságra levő pontok azon a hengerpalást‐felületen vannak, melynek tengelye AB, sugara 5 cm. A palástnak minden olyan Q pontja, melynek AB-n levő Q' vetülete az AB szakasz belsejébe vagy valamelyik végpontjába esik, és S-en levő Q'' vetülete nincs az N belsejében, magától N-től is 5 cm-re van, hozzátartozik a mértani helyhez, mert N-nek Q'-től különböző pontjai 5 cm-nél távolabb vannak az ilyen Q-tól. (Ha Q'' az AB szakaszon adódik, akkor azonos Q'-vel.) E Q pontok kitöltik a palástnak azt a darabját, amelynek határvonala egyrészt az AA1D=T és BB1C síkok által kimetszett félkör, másrészt az AA1B=T' sík által kimetszett A1B1, A2B2 alkotószakasz. A palást további pontjai N-től vagy kisebb vagy nagyobb távolságra vannak, mint 5 cm. ‐ A BC, CD, DA szakaszokból egy‐egy a fentivel egybevágó fél‐hengerpalást adódik, mint a mértani hely része.
Végül az N valamelyik csúcsától, mondjuk A-tól, 5 cm távolságra levő pontok az A körül 5 cm sugárral írt gömb felületén vannak, közülük az a gömbkétszög alakú negyedrész tartozik a keresett mértani helyhez, mely a fenti T és T' síknak N-et nem tartalmazó partján van, vagy magán T-n, T'-n. A gömbkétszög mindegyik határoló fél‐főköre egyszersmind a csatlakozó félhengerpalástnak alapköre. A B, C, D csúcs ugyanígy egy‐egy negyedgömbbel járul hozzá a mértani helyhez.
Összefoglalva: a mértani hely két négyzetlemezből, 4 fél‐hengerpalást felületből és 4 gömbkétszög alakú negyed‐gömbfelületből áll; a részek határvonalaikkal egymáshoz csatlakoznak és egy zárt, folytonos felületet alkotnak.
A fentiekben a mértani helynek csupán az elképzelését tekintettük feladatunknak, a pontos meghatározáshoz hozzátartozó bizonyításokat viszont nem.
Várhegyi Éva (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A mértani helyet elképzelhetjük úgy is, hogy egy 5 cm sugarú gömböt úgy mozgatunk minden lehetséges helyzetbe, hogy középpontja a lemez belsejében vagy oldalán vagy csúcsán legyen. Ekkor a súrolt pontok halmazának határfelülete, ún. konvex burka a mértani hely.
Vitályos Gábor (Budapest, XII. ker., Mártonhegyi úti Ált. Isk., 8. o. t.)