|
Feladat: |
1102. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Angster Judit , Dettai István , Győry Jenő , Soós Miklós , Terlaky Edit |
Füzet: |
1967/november,
147 - 148. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Középvonal, Súlyvonal, Komplex számok, Terület, felszín, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/január: 1102. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Messe az egyenest a pontban, és legyen tükörképe -re . Ekkor párhuzamos -vel ‐ hiszen az tükörképe -re ‐, másrészt harmadolja az szakaszt, ezért is harmadolja -et, (1. ábra).
1. ábra A oldal ugyanazzal a szerkesztéssel áll elő az , , ponthármasból, ahogyan -et kaptuk , , -ból, ezért ugyancsak arányban osztja -et, s ugyanígy is -et. Az háromszög szabályos voltából semmit sem használtunk fel, így megállapításunk tetszés szerinti háromszögre érvényes.
Dettai István (Pannonhalma, Bencés g. I. o. t.) Angster Judit (Pécs, Nagy Lajos g. I. o. t.)
II. megoldás. Messe az -vel -n át húzott párhuzamos -et -ben. Ekkor az háromszög középvonala, pedig az háromszögé; ezért egyrészt felezi -t, másrészt felezi -et: . Így pedig . ‐ Ugyanígy okoskodhatunk a többi oldalakra vonatkozóan is.
Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. g. I. o. t.) Győry Jenő (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
III. megoldás. Messe az -ből -gyel párhuzamosan húzott egyenes az egyenest -ben. Ekkor a tükörképe -re, így egyenlő vele, tehát -vel is. Az paralelogramma átlói felezik egymást, amiből következik, hogy az háromszög egyik súlyvonalának egyenese. egy másik súlyvonal, így a háromszög súlypontja, tehát a súlyvonal kétharmada, s így az távolság egyharmada.
Soós Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
IV. megoldás. A keresett távolságarány megegyezik az és pontok oldalegyenestől mért távolságának arányával. Ezek a távolságok és háromszögek közös oldalára bocsátott magasságai; így a háromszögek területének aránya is a keresett arányt adja. Az háromszög területe az háromszög területének a kétszerese, mert az háromszög területét a súlyvonal felezi. Az háromszög területe viszont egyenlő az háromszögével, mert az háromszög területét az súlyvonal felezi. Így az háromszög területe az háromszögének kétszerese, tehát a szakasz kétszerese.
2. ábra Megjegyzés. Ha az háromszög oldalainak a meghosszabbítására rendre a megfelelő oldalak -szorosát mérjük fel, akkor ‐ mint az a fentiekhez hasonlóan könnyen belátható ‐ (2. ábra): | | Így | |
Esetünkben volt, így az arány értéke . |
|