Kezdőlap


Feladat:	1102. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Angster Judit , Dettai István , Győry Jenő , Soós Miklós , Terlaky Edit
Füzet:	1967/november, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Középvonal, Súlyvonal, Komplex számok, Terület, felszín, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1102. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Messe az $A_{1} B_{1}$ egyenest $A B$ a $K$ pontban, és legyen $B$ tükörképe $C$ -re $D$ . Ekkor $B_{1} D$ párhuzamos $A B$ -vel ‐ hiszen $B_{1} D$ az $A B$ tükörképe $C$ -re ‐, másrészt $B$ harmadolja az $A_{1} D$ szakaszt, ezért $K$ is harmadolja $A_{1} B_{1}$ -et, $A_{1} K : K B_{1} = 1 : 2$ (1. ábra).

1. ábra

B_{1} C_{1}

oldal ugyanazzal a szerkesztéssel áll elő az

A

C

B

ponthármasból, ahogyan

A_{1} B_{1}

-et kaptuk

C

B

A

-ból, ezért

B C

ugyancsak

1 : 2

arányban osztja

B_{1} C_{1}

-et, s ugyanígy

C A

C_{1} A_{1}

-et.
Az

A B C

háromszög szabályos voltából semmit sem használtunk fel, így megállapításunk tetszés szerinti háromszögre érvényes.

Dettai István (Pannonhalma, Bencés g. I. o. t.)
Angster Judit (Pécs, Nagy Lajos g. I. o. t.)

II. megoldás. Messe az

A B

-vel

C

-n át húzott párhuzamos

A_{1} B_{1}

-et

L

-ben. Ekkor

C L

A B_{1} K

háromszög középvonala,

B K

pedig az

A_{1} C L

háromszögé; ezért egyrészt

L

felezi

B_{1} K

-t, másrészt

K

felezi

L A_{1}

-et:

B_{1} L = L K = K A_{1}

. Így pedig

A_{1} K : K B_{1} = 1 : 2

. ‐ Ugyanígy okoskodhatunk a többi oldalakra vonatkozóan is.

Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. g. I. o. t.)
Győry Jenő (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

III. megoldás. Messe az

A_{1}

-ből

A B_{1}

-gyel párhuzamosan húzott egyenes az

A B

egyenest

C_{2}

-ben. Ekkor

A_{1} C_{2}

C A

tükörképe

B

-re, így egyenlő vele, tehát

B_{1} C

-vel is. Az

A_{1} C_{2} B_{1} C

paralelogramma átlói felezik egymást, amiből következik, hogy

A_{1} B_{1}

A_{1} C_{2} C

háromszög egyik súlyvonalának egyenese.

C_{2} B

egy másik súlyvonal, így

K

a háromszög súlypontja, tehát

A_{1} K

a súlyvonal kétharmada, s így az

A_{1} B_{1}

távolság egyharmada.

Soós Miklós (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

IV. megoldás. A keresett

A_{1} K / K B_{1}

távolságarány megegyezik az

A_{1}

és

B_{1}

pontok

A B

oldalegyenestől mért távolságának arányával. Ezek a távolságok

A B A_{1}

és

A B B_{1}

háromszögek közös oldalára bocsátott magasságai; így a háromszögek területének aránya is a keresett arányt adja.
Az

A B B_{1}

háromszög területe az

A B C

háromszög területének a kétszerese, mert az

A B B_{1}

háromszög területét a

B C

súlyvonal felezi. Az

A B C

háromszög területe viszont egyenlő az

A B A_{1}

háromszögével, mert az

A A_{1} C

háromszög területét az

A B

súlyvonal felezi. Így az

A B B_{1}

háromszög területe az

A B A_{1}

háromszögének kétszerese, tehát

B_{1} K

K A_{1}

szakasz kétszerese.

2. ábra

Megjegyzés. Ha az

A B C

háromszög oldalainak a meghosszabbítására rendre a megfelelő oldalak

λ

-szorosát mérjük fel, akkor ‐ mint az a fentiekhez hasonlóan könnyen belátható ‐ (2. ábra):

\begin{matrix} \frac{A_{1} K}{K B_{1}} = \frac{t_{A B A_{1}}}{t_{A B B_{1}}}, t_{A B B_{1}} = t_{A B C} + t_{B B_{1} C}, t_{B B_{1} C} = λ t_{A B C}, t_{A A_{1} B} = λ t_{A B C} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{A_{1} K}{K B_{1}} = \frac{λ \cdot t_{A B C}}{(1 + λ) \cdot t_{A B C}} = \frac{λ}{1 + λ} . \end{matrix}

Esetünkben

λ = 1

volt, így az arány értéke

1 / 2