A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A gyökjel előtti pozitív szorzókat a gyökjel alá vive és elvégezve a műveleteket, és a kínálkozó egyszerűsítéseket, minden esetben az első gyökmennyiséget kapjuk. Figyeljük meg, hogy a gyökjel alatti nevező minden esetben osztója a gyökjel előtt álló tört számlálója négyzetének. Jelöljük -val azt a számot, aminek a négyzetgyökét akarjuk kifejezni, -nal a gyökjel előtti törtet, ekkor -et a gyökjel alá víve az elmondottak szerint ilyen alakú összefüggéseket kapunk: ahol , pozitív egész és olyan egész, amelyre . Átszorozva -nal és négyzetre emelve Ha találunk ennek eleget tevő , , -t, akkor ezekkel fennáll a következő összefüggés is: Ez annál érdekesebb, minél kisebb . A fenti példákban az hármasok esetén (, , , ; -hoz , ; -höz és -hez . Ezekben a példákban osztója -nek, ehhez azonban nem kell ragaszkodnunk. Megfigyelhetjük viszont azt is, hogy amelyik példákban a gyökjel alatti nevező nem négyzetszám, ott a külső tört számlálója alakú, a belső nevező pedig , amit beírva a alakra jutunk (példáinkban mindig vagy ). Innen átrendezéssel az összefüggést kapjuk, ami csak a betűk mellé tett vesszőkben tér el (2)-től. Így (2) minden megoldásából (3), ill. (4) alapján -t előállíthatjuk a gyökjel alatt összeggel is, különbséggel is. II. Az -höz és -hez fent megadott előállításokból leolvasható a
előállítás, vagy az | | egyenlőségekből
Hasonlóan a további gyökalapokhoz egy-egy számhármast választva:
Ezekből
Megjegyzések. 1. Ha , akkor is teljes négyzet s így abszolút értéke mint két négyzetszám különbségéé, mindig -nél nagyobb, de erre már a korábbiakban is láttunk példát. 2. Az átalakítások felhasználhatók a gyököknek az 1109. gyakorlat alapján való gyorsabb kiszámításában. Lásd ezen számban 151. old. |