Kezdőlap


Feladat:	1100. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1967/november, 144 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1100. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A gyökjel előtti pozitív szorzókat a gyökjel alá vive és elvégezve a műveleteket, és a kínálkozó egyszerűsítéseket, minden esetben az első gyökmennyiséget kapjuk. Figyeljük meg, hogy a gyökjel alatti nevező minden esetben osztója a gyökjel előtt álló tört számlálója négyzetének. Jelöljük $a$ -val azt a számot, aminek a négyzetgyökét akarjuk kifejezni, $x / y$ -nal a gyökjel előtti törtet, ekkor $x$ -et a gyökjel alá víve az elmondottak szerint ilyen alakú összefüggéseket kapunk:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = \frac{1}{y} \sqrt[]{x^{2} + z}, \end{matrix}

ahol

x

y

pozitív egész és

z

olyan egész, amelyre

| z | < x^{2}

. Átszorozva

y

-nal és négyzetre emelve

\begin{matrix} a y^{2} = x^{2} + z . \end{matrix}

(2)

Ha találunk ennek eleget tevő

x

y

z

-t, akkor ezekkel fennáll a következő összefüggés is:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = \frac{x}{y} \sqrt[]{1 + \frac{z}{x^{2}}} . \end{matrix}

(3)

Ez annál érdekesebb, minél kisebb

| z |

. A fenti példákban az

(x | y | z)

hármasok

a = 2

esetén (

(3 | 2 | - 1)

(4 | 3 | 2)

(7 | 5 | 1)

(10 | 7 | - 2)

;

a = 3

-hoz

(7 | 4 | - 1)

(12 | 7 | 3)

;

a = 5

-höz

(20 | 9 | 5)

és

a = 10

-hez

(10 | 3 | - 10)

. Ezekben a példákban

z

osztója

x^{2}

-nek, ehhez azonban nem kell ragaszkodnunk.
Megfigyelhetjük viszont azt is, hogy amelyik példákban a gyökjel alatti nevező nem négyzetszám, ott a külső tört számlálója

a y'

alakú, a belső nevező pedig

a y'^{2}

, amit beírva a

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = \frac{a y'}{x'} \sqrt[]{1 + \frac{z'}{a y'^{2}}} \end{matrix}

(4)

alakra jutunk (példáinkban

z'

mindig

1

vagy

- 1

). Innen átrendezéssel az

\begin{matrix} a y'^{2} = x'^{2} + z' \end{matrix}

összefüggést kapjuk, ami csak a betűk mellé tett vesszőkben tér el (2)-től. Így (2) minden megoldásából (3), ill. (4) alapján

\sqrt[]{a}

-t előállíthatjuk a gyökjel alatt összeggel is, különbséggel is.
II. Az

5

-höz és

10

-hez fent megadott előállításokból leolvasható a

\begin{matrix} \sqrt[]{5} = \frac{45}{20} \sqrt[]{1 - \frac{5}{405}} = \frac{9}{4} \sqrt[]{1 - \frac{1}{81}} \\ \sqrt[]{10} = \frac{30}{10} \sqrt[]{1 + \frac{10}{90}} = 3 \sqrt[]{1 + \frac{1}{9}} \end{matrix}

előállítás, vagy az

\begin{matrix} 5 \cdot 3^{2} = 7^{2} - 4, 5 \cdot 17^{2} = 38^{2} + 1, 10 \cdot 7^{2} = 22^{2} + 6, 10 \cdot 6^{2} = 19^{2} - 1 \end{matrix}

egyenlőségekből

\begin{matrix} \sqrt[]{5} = \frac{7}{3} \sqrt[]{1 - \frac{4}{49}} = \frac{15}{7} \sqrt[]{1 + \frac{4}{45}} = \frac{38}{17} \sqrt[]{1 + \frac{1}{1444}} = \frac{85}{38} \sqrt[]{1 - \frac{1}{1445}}; \\ \sqrt[]{10} = \frac{22}{7} \sqrt[]{1 + \frac{3}{242}} = \frac{35}{11} \sqrt[]{1 - \frac{3}{245}} = \frac{19}{6} \sqrt[]{1 - \frac{1}{361}} = \frac{60}{19} \sqrt[]{1 + \frac{1}{360}} . \end{matrix}

Hasonlóan a további gyökalapokhoz egy-egy

(x | y | z)

számhármast választva:

\begin{matrix} 6 \cdot 2^{2} = 5^{2} - 1, 7 \cdot 3^{2} = 8^{2} - 1, 11 \cdot 3^{2} = 10^{2} - 1, 13 \cdot 5^{2} = 18^{2} + 1, \\ 14 \cdot 4^{2} = 15^{2} - 1, 15 \cdot 8^{2} = 31^{2} - 1, 16 \cdot 3^{2} = 13^{2} - 25, 26 \cdot 1^{2} = 5^{2} + 1. \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} \sqrt[]{6} = \frac{5}{2} \sqrt[]{1 - \frac{1}{25}} = \frac{12}{5} \sqrt[]{1 + \frac{1}{24}}; \sqrt[]{7} = \frac{8}{3} \sqrt[]{1 - \frac{1}{64}} = \frac{21}{8} \sqrt[]{1 + \frac{1}{63}}; \\ \sqrt[]{11} = \frac{10}{3} \sqrt[]{1 - \frac{1}{100}} = \frac{33}{10} \sqrt[]{1 + \frac{1}{99}}; \sqrt[]{13} = \frac{18}{5} \sqrt[]{1 + \frac{1}{324}} = \frac{65}{18} \sqrt[]{1 - \frac{1}{325}}; \\ \sqrt[]{14} = \frac{15}{4} \sqrt[]{1 - \frac{1}{225}} = \frac{56}{15} \sqrt[]{1 + \frac{1}{224}}; \sqrt[]{15} = \frac{31}{8} \sqrt[]{1 - \frac{1}{961}} = \frac{120}{31} \sqrt[]{1 + \frac{1}{960}}; \\ \sqrt[]{16} = \frac{13}{3} \sqrt[]{1 - \frac{25}{169}} = \frac{48}{13} \sqrt[]{1 + \frac{25}{144}}; \sqrt[]{26} = 5 \sqrt[]{1 + \frac{1}{25}} = \frac{26}{5} \sqrt[]{1 - \frac{1}{26}} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Ha

a = 16

, akkor

a y^{2}

is teljes négyzet s így

z

abszolút értéke mint két négyzetszám különbségéé, mindig

1

-nél nagyobb, de erre már a korábbiakban is láttunk példát.
2. Az átalakítások felhasználhatók a gyököknek az 1109. gyakorlat ¹ alapján való gyorsabb kiszámításában.

¹Lásd ezen számban 151. old.