Nyilvánvaló, hogy a keresett legkisebb szám $n=10n\text{'}$, a legnagyobb pedig $N=10N\text{'}$ alakban írható, ahol $n\text{'}$, $N\text{'}$ a $36$-nak az a legkisebb, ill. legnagyobb, $7$-jegyű, csupa különböző jeggyel írt többszöröse; melyben nem lép föl a $0$ számjegy.
Mivel $n\text{'}$, $N\text{'}$ osztható $36$-tal, osztható $9$-cel is, $4$-gyel is, és fordítva, ha osztható mindkettővel, akkor a szorzatukkal is, mivel $9$ és $4$ egymáshoz relatív prímek. Mint ismeretes, a $4$-gyel való oszthatóság csak az utolsó két jegy megválasztásán múlik, beleértve sorrendjüket is; a $9$-cel való oszthatóságban viszont a szám minden jegye szerepet játszik, de sorrendjük nem lényeges, a jegyek összegének kell oszthatónak lennie $9$-cel.
A szóba jövő számjegyek összege $1+2+\text{...}+9=45$, osztható $9$-cel, közülük kettő nem léphet föl, ezek összege szintén osztható kell legyen $9$-cel és legföljebb $9+8=17$, tehát a föl nem használt számjegyek összege $9$. A mellőzés lehetőségei: