Kezdőlap


Feladat:	1097. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Bálványos Zoltán , Berács József , Bogár D. , Csirmaz László , Ésik Zoltán , Eszes G. , Fialovszky Alice , Hárs László , Horváth László , Juhász Ágnes , Kele András , Mérő László , Mihálffy P. , Morvai István , Nagy Zsigmond , Pap Márta , Schván P. , Somogyi Á. , Somos Endre , Soós M. , Sugár P. , Szűcs A. , Takács László
Füzet:	1967/november, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Kombinatorikai leszámolási problémák, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1097. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra $60^{\circ}$ -os forgási szimmetriát mutat, az $S_{12}$ tizenkétszöget $O$ középpontja körül akárhányszor $60^{\circ}$ -kal elforgatva minden páros indexű csúcs egy páros indexű csúcs eredeti helyére jut, és minden páratlan indexű csúcs egy páratlan indexűnek eredeti helyére, minden berajzolt átló egy berajzolt átló eredeti helyére. Ezért elegendő megszámlálni a részidomokat és átlómetszéspontokat a $C_{12} C_{1} C_{2} O = N$ deltoid belsejében, hozzászámítva $N$ -hez az $O C_{12}$ határszakaszt is, az $O C_{2}$ határszakaszt és magát $O$ -t viszont nem. Nyilvánvaló ugyanis, hogy így a részidomok száma $S_{12}$ -ben $6$ -szor annyi, mint $N$ -ben, a metszéspontok száma pedig $S_{12}$ -ben $1$ -gyel több, mint az $N$ -hez tartozók számának $6$ -szorosa.

Az ábra

D

E

F

és

O

pontjában két-két a

C_{12} C_{6}

tengelyre szimmetrikus átló metszi egymást, pl.

D

-ben

C_{1} C_{10}

és

C_{11} C_{2}

, így közös pontjuk rajta van a tengelyen. Továbbá

C_{12} C_{5}

és

C_{2} C_{10}

egyaránt

S_{12}

oldalával egyenlő darabot metszenek le

C_{1} C_{8}

-ból, mert

C_{5} C_{12} C_{1} ∢ = C_{12} C_{1} C_{8} ∢ = 60^{\circ}

, ill.

C_{8} C_{1} C_{2} ∢ = 90^{\circ}

C_{1} C_{2} C_{10} ∢ = 45^{\circ}

, tehát a metszéspont

C_{12}

-vel és

C_{1}

-gyel egyenlő oldalú háromszöget,

C_{1}

-gyel és

C_{2}

-vel egyenlő szárú derékszögű háromszöget határoz meg. Így a

D

E

F

O

G

pontokban,

5

pontban, 3‐3 átló metszi egymást.

G_{2}

G

tükrös párja a (be nem rajzolt)

C_{1} O

tengelyre nézve.
Minden további metszésponton csak

2

átló megy át. Példaként belátjuk, hogy

C_{1} E = C_{1} C_{8}

-at

C_{12} C_{3}

és

C_{2} C_{11}

különböző pontokban metszik. Valóban, az utóbbi két átló egymás tükrös párja

C_{1} O

-ra, azaz

C_{1} C_{7}

-re nézve, tehát azon metszik egymást ‐ a

C_{1}

-től különböző

D_{1}

-ben ‐,

C_{1} C_{7}

, viszont különbözik

C_{1} C_{8}

-tól. Hasonlóan bizonyítható állításunk a további ‐ látszólag közel eső ‐ ponthármasokra. A csak

2

megrajzolt átlóba tartozó metszéspontok száma

O C_{12}

-n

1

O C_{1}

-en

4

, az

O C_{1} C_{12}

háromszögben

11

, így

N

-hez tartozik

5 + 1 + 4 + 22 = 32

metszéspont.

S_{12}

-ben

6 \cdot 32 + 1 = 193

metszéspont van.
Az

O C_{1}

tengely

N

-nek

6

rész-idomán halad át, az

O C_{1} C_{12}

további

19

idomot tartalmaz,
így

N

és

S_{12}

rész-idomainak száma

6 + 2 \cdot 19 = 44

, ill.

6 \cdot 44 = 264

Morvai István (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
Horváth László (Hódmezővásárhely, Ált. Iskola, 7. o. t.)

Megjegyzés. A csak

2

átlóba tartozó metszéspontok száma így is adódik: Minden egyes olyan megrajzolt átlón, amely forgatással vagy tükrözéssel átvihető a

C_{12} C_{2}

C_{12} C_{3}

C_{12} C_{4}

C_{12} C_{5}

, ill.

C_{12} C_{6}

átlóra, rendre

4

12

13

18

, ill.

16

más átló lép át ‐ pl. az utolsón

C_{1}

C_{3}

C_{5}

mindegyikéből kiindul

2

C_{2}

-ből és

C_{4}

-ből 5‐5. Az ilyen átlók száma rendre

6

12

6

12

3

, így az átlépések száma

24 + 144 + 78 + 216 + 48 = 510

. Ebben a

3

-as metszéspontokat

6

-szor, a

2

-eseket

2

-szer számláltuk, így a

2

-esek száma

\begin{matrix} [510 - 6 (1 + 6 \cdot 5)] / 2 = 162, \end{matrix}

az összeseké pedig

6 (1 + 6 \cdot 5) + 162 = 193