Kezdőlap


Feladat:	1096. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sirokmán Ferenc
Füzet:	1967/október, 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Magasságvonal, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1096. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett háromszög $A B C$ , és benne a $B C = a$ oldal, a $B B_{1} = m_{b}$ magasság és a $C C_{0} = s_{c}$ súlyvonal rendre egyenlő az adott három szakasszal. $C_{0}$ felezi az $A B$ oldalt, ezért az $A C$ oldal fölötti magassága $m_{b} / 2$ . Ennek alapján a szerkesztés a következő. Egy $b$ egyenes tetszés szerinti $B_{1}$ pontjában állított merőlegesre fölmérjük $m_{b}$ -t, végpontja $B$ . A $B$ körüli $a$ sugarú körnek $b$ -vel való metszéspontja $C$ . Megrajzoljuk a $B B_{1}$ szakasz $f$ felező merőlegesét és a $C$ körüli $s_{c}$ sugarú kört, metszéspontjuk $C_{0}$ . Végül a $B C_{0}$ egyenessel $b$ -ből kimetsszük az $A$ csúcsot.

C_{0}

felezi

A B

-t. Ugyanis az

A

-ból és

B

-ből

f

-re bocsátott merőleges egyaránt

m_{b} / 2

hosszúságú, így ezek

C_{0}

-lal egybevágó derékszögű háromszögeket határoznak meg, mert e háromszögek

C_{0}

-nál fekvő szögei csúcsszögek. Így átfogóik is egyenlők:

A C_{0} = B C_{0}

.
A szerkesztés végrehajtható, ha egyrészt

a \geq m_{b}

, másrészt

s_{c} \geq m_{b} / 2

; azonban nem állhat mindkét feltételben egyenlőség, különben

C

egybeesik

A

-val, elfajult háromszöget kapunk.
A megoldások száma

a > m_{b}

s_{c} > m_{b} / 2

esetén 2, ugyanis a

C

-re adódó két metszéspont közül még elég az egyiket figyelembe venni ‐ hiszen az ábra a szerkesztés e fázisában még szimmetrikus

B B_{1}

-re ‐, a

C_{0}

C_{0}'

metszéspontok azonban már az egymással nem egybevágó

B C A

és

B C A'

háromszögekre vezetnek. Ha a föltételek egyikében egyenlőség áll, akkor csak 1 megoldás van.

Sirokmán Ferenc (Makó, József A. g. II. o. t.)