Kezdőlap


Feladat:	1094. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Inczédy Sarolta
Füzet:	1967/november, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1094. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $c$ oldallal szemben fekvő csúcsból húzott magasság az $α$ szög csúcsával mindkét esetben egy szabályos háromszög felét adja, így ‐ mint ismeretes ‐ (1. ábra)

\begin{matrix} m_{c} = \frac{b \sqrt[]{3}}{2}, ezért t = \frac{c m_{c}}{2} = \frac{b c \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

1. ábra

Azt kell csak belátnunk tehát, hogy

\begin{matrix} α = 60^{\circ} esetén a^{2} - {(b - c)}^{2} = b c, és & (1) \\ α = 120^{\circ} esetén a^{2} - {(b - c)}^{2} = 3 b c . \end{matrix}

A mondott derékszögű háromszögnek a

c

oldalszakaszon, ill. annak meghosszabításán levő befogója a fentiek szerint

b / 2

, s így

\begin{matrix} a^{2} = m_{c}^{2} + {(c - \frac{b}{2})}^{2} = \frac{3 b^{2}}{4} + c^{2} - b c + \frac{b^{2}}{4} = {(b - c)}^{2} + b c, \\ ill. a^{2} = m_{c}^{2} + {(c + \frac{b}{2})}^{2} = {(b - c)}^{2} + 3 b c . \end{matrix}

Ezek igazolják (1)-et.

Inczédy Sarolta (Vác, Sztáron S. g. I. o. t.)

II. megoldás.¹ A két állítást

\begin{matrix} 6 t = 6 \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4} - 6 \frac{{(b - c)}^{2} \sqrt[]{3}}{4}, ill. 3 t = \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4} - \frac{{(b - c)}^{2} \sqrt[]{3}}{4} \end{matrix}

alakban bizonyítjuk, felhasználva, hogy

d^{2} \sqrt[]{3} / 4

egy

d

oldalú szabályos háromszög

t_{3} (d)

területe, ennek hatszorosa pedig egy

d

oldalú szabályos hatszög

t_{6} (d)

területe. ² Válasszuk a betűzést úgy, hogy

b \geq c

legyen. Ezekkel az állítás így írható:

\begin{matrix} 6 t = t_{6} (a) - t_{6} (b - c), 3 t = t_{3} (a) - t_{3} (b - c), \end{matrix}

vagyis pl.

α = 60^{\circ}

esetén háromszögünk területe annyi, mint egy

a

és egy

b - c

oldalú szabályos hatszög területének különbsége.

2. ábra

Egy

b - c

oldalú szabályos hatszög, ill. háromszög egymás utáni oldalait a 2. ábra szerint meghosszabbítva a külső szög mindig

60^{\circ}

, ill.

120^{\circ}

. Mindegyikbe egy példányt illesztve a szóban forgó háromszögünkből úgy, hogy

c

oldaluk essék a meghosszabbításra, 2‐2 szomszédos háromszög 1‐1 csúcsa egybeesik, mert

(b - c) + c = b

, és az

a

oldalak szabályos hatszöget, ill. szabályos háromszöget határolnak, mert mindegyik szögük

\begin{matrix} β + γ = 180^{\circ} - α = 120^{\circ}, ill. β + γ = 180^{\circ} - α = 60^{\circ} . \end{matrix}

Ezzel az állítás nyilvánvalóvá vált.

b = c

esetén háromszögünk maga is

a

oldalú szabályos háromszög, ill. ennek

1 / 3

része ‐ a csúcsokat a középponttal összekötő szakaszokkal szétdarabolva ‐, így a

6 t = t_{6} (a)

, ill.

3 t = t_{3} (a)

állítás helyessége nyilvánvaló.

¹A megoldás a következő műből való: Hugo Steinhaus: Sto zadan (Panstwowe Wydawnietwo Naukowe, Warszawa, 1958) 73‐74. o.

²A zárójel itt nem szorzást jelöl; benne az oldal hossza van föltüntetve!