Kezdőlap


Feladat:	1093. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szász János
Füzet:	1967/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1093. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) $1312 = 2^{5} \cdot 41 = 32 \cdot 41$ . Így az első kifejezés

\begin{matrix} K_{1} = 32^{n} (32^{2 n} - 41^{n}) = 32^{n} (1024^{n} - 41^{n}) . \end{matrix}

n = 0

-ra 0, és az minden egész számmal osztható, ha pedig

n

pozitív egész, akkor a második tényező osztható

1024 - 41 = 983

-mal, mert két egyenlő kitevőjű hatvány különbsége (pozitív egész kitevők esetén) osztható az alapok különbségével: Az első tényező viszont páros, s így szorzatuk osztható

2 \cdot 983 = 1966

-tal.
b)

1967 = 7 \cdot 281

, ahol 281 prímszám. Megmutatjuk, hogy a

K_{2}

második kifejezés 7-tel is, 281-gyel is osztható, s így, miután ezek relatív prímek, a szorzatukkal is. Mivel

1099 = 7 \cdot 157

és

843 = 281 \cdot 3

, mindkét esetben elegendő az oszthatóságot egy kéttagú kifejezésre igazolni. Egyrészt

\begin{matrix} K_{2}' = 843^{2 n + 1} + 16^{4 n + 2} = 843^{2 n + 1} + 256^{2 n + 1}, \end{matrix}

ami osztható

843 + 256 = 1099

-cel, mert két egyenlő, páratlan kitevőjű hatvány összege mindig osztható az alapok összegével, így pedig

K_{2}'

osztható 7-tel is. Másrészt

\begin{matrix} K_{2}'' = 16^{4 n + 2} - 1099^{2 n + 1} = - (1099^{2 n + 1} - 256^{2 n + 1}), \end{matrix}

ez pedig osztható

1099 - 256 = 843

-mal, tehát 281-gyel is.
Megjegyezzük, hogy

K_{2}

mindig osztható

1099 \cdot 843

-mal is, mert a két tényező különböző prímtényezők szorzata, s így relatív prím egymáshoz; sőt

2 \cdot 1099 \cdot 843 = 1 852 914

-gyel is, mert

K_{2}

nyilvánvalóan páros és 2 relatív prím az előbbi szorzathoz.

Szász János (Pécs, Nagy Lajos g. I. o. t.)