Kezdőlap


Feladat:	1089. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti Péter
Füzet:	1967/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Terület, felszín, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1089. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A háromszög két területképletének egybevetéséből $m_{a} = b m_{b} / a$ , ezt (1) első része bal és jobb oldalának különbségébe helyettesítve

\begin{matrix} (a - b) + (m_{a} - m_{b}) = \\ = & (a - b) - (a - b) m_{b} / a = \\ = (a - b) (a - m_{b}) / a, \end{matrix}

és ez nem lehet negatív,

m_{b} \leq a

, hiszen ‐ a csúcsok szokásos jelölésével ‐

m_{b}

B

csúcs távolsága az

A C

egyenestől,

a

pedig az ezen levő

C

csúcstól való távolsága. Egyenlőség csak

a = b

esetén áll, ugyanis

m_{b} = a

lehetetlen, azt jelentené, hogy a háromszögben a

C

csúcsnál derékszög van, s így

c > a

Ugyanígy bizonyíthatjuk (1) második részét; az adódó

(b - c) (b - m_{c}) / b

kifejezés viszont nemcsak

b = c

esetén 0, hanem

b = m_{c}

, esetén is, tehát akkor is egyenlőség áll (1) második részében, ha a háromszög derékszögű. Ez számítás nélkül is világos, hiszen bármelyik befogóhoz mint alaphoz a másik befogó tartozik hozzá, mint magasság, így (1) közepe és jobb oldala egyaránt

b + c

. ‐ Ezek szerint (1)-ben mindkét helyen csak

a = b = c

esetén állhat egyenlőség.
II. A kérdéses (2) nagyságviszony általában nem érvényes, pl. semmilyen derékszögű háromszögre sem, hiszen ha

B A C ∢ = 90^{\circ}

, akkor a magasságpont

A

-ban van,

m_{a}^{*} = 0

m_{b}^{*} = m_{b} = c

m_{c}^{*} = b

, és így

a + m_{a}^{*} = a < b + m_{b}^{*} = b + c = m_{c}^{*} + c

. Teljesül viszont (2) pl. ha a háromszög szögei

α = 135^{\circ}

β = 30^{\circ}

γ = 15^{\circ}

. Valóban, ekkor a

45^{\circ}

-os, valamint a

60^{\circ}

-os szögű derékszögű háromszög oldalai közti, jól ismert összefüggések alapján minden szóban forgó szakaszt könnyen kifejezhetünk a

b

oldallal:

a = m_{a}^{*} = b \sqrt[]{2}

c = b (\sqrt[]{3} - 1) / \sqrt[]{2}

m_{b}^{*} = b \sqrt[]{3}

m_{c}^{*} = b (\sqrt[]{3} + 1) / \sqrt[]{2}

, és (2) teljesül:

2 \sqrt[]{2} > \sqrt[]{3} + 1 > \sqrt[]{6} .

Itt

M

mindegyik magasságszakasznak a meghosszabbításán van rajta.
Eszerint (2)-re azt sem mondhatjuk, hogy sohasem igaz.

Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)