Kezdőlap


Feladat:	1087. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csirmaz László , Hárs László , Takács László
Füzet:	1967/november, 136 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gördülés (Mozgási geometria), Négyzetek, Gyakorlat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1087. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyenek az $A B$ , ill. $B C$ szakasz egymás utáni negyedelő pontjai $A'$ , $A''$ , $A'''$ , ill. $B'$ , $B''$ , $B'''$ , másrészt $H$ egymás utáni oldalainak felezőpontjai $m$ , $k$ , $l$ , középpontja $O$ . $H$ pontjainak $1, 2, ...$ befejezett elfordulás után elfoglalt helyzetét jelük mellé tett $1$ -es, $2$ -es, $...$ indexszel jelöljük, a kiinduló helyzetet $0$ indexszel. Így $m_{0}$ egybeesik $A''$ -vel ‐ röviden $m_{0} = A''$ ‐, továbbá $K_{0} = A'''$ , $L_{0} = A'$ (1. ábra).
Az első elfordulás $K_{0} = A'''$ körül $120^{\circ}$ -kal, a teljes körülfordulás $1 / 3$ részével megy végbe, $M$ az $A B$ -nek $B$ -n túli meghosszabbítására jut, mert $M_{1} A''' = M_{0} K_{0} = 1 > B A''' = 1 / 2$ , vagyis $M_{1} B = 1 / 2$ , $B$ -be pedig az a pontja jut az $M K$ oldalnak, amely $K$ -tól $K_{0} B = A''' B = 1 / 2$ távolságra van, vagyis $l$ . Így a második elfordulás középpontja $B = l_{1} = l_{2}$ , szöge $90^{\circ}$ , $1 / 4$ körülfordulás, $M_{2} = B'$ , és ez lesz a harmadik, ismét $120^{\circ}$ -os elfordulás középpontja. Ezért $L_{3} = B'''$ és $k_{3} = B''$ , a $H_{3}$ helyzet lényegében azonos $H_{0}$ -lal, csupán $K_{0}$ , $L_{0}$ , $M_{0}$ , $k_{0}$ , $l_{0}$ , $m_{0}$ , valamint $A$ és $B$ helyére rendre $L_{3}$ , $M_{3}$ , $K_{3}$ , $l_{3}$ , $m_{3}$ , $k_{3}$ , ill. $B$ és $C$ lép, $O_{0}$ helyére pedig $O_{3}$ .

Elég lesz tehát a kérdéses pontok eddig megtett útját megállapítanunk, ezekből teljes útjuk könnyen kiszámítható.

H

szabályos volta miatt az egyes elfordulási sugarak

k K = \sqrt[]{3} / 2

O K = 2 k K / 3 = 1 / \sqrt[]{3}

k l = 1 / 2

O l = 1 / 2 \sqrt[]{3}

. Az utakat a kezdő és véghelyzet egymás után való leírásával jelöljük, és az elöl fönt elhelyezett csillaggal arra emlékeztetünk, hogy nem szakaszról van szó. Az íveket a sugárnak

2 π / 3

-mal, ill.

π / 2

-vel való szorzása útján kapjuk, így

\begin{matrix} ^{*} K_{0} K_{3} =^{*} K_{0} K_{1} +^{*} K_{1} K_{2} +^{*} K_{2} K_{3} = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} + 1 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{11 π}{12}, \\ ^{*} L_{0} L_{3} = (16 + 3 \sqrt[]{3}) \frac{π}{12} \approx 5, 55,^{*} M_{0} M_{3} = \frac{11 π}{12} \approx 2, 88,^{*} O_{0} O_{3} = \frac{19 π}{12 \sqrt[]{3}} \approx 2, 87, \\ ^{*} k_{0} k_{3} = (7 + 4 \sqrt[]{3}) \frac{π}{12} =^{*} m_{0} m_{3} \approx 3, 65,^{*} l_{0} l_{3} = \frac{2 π}{3} \approx 2, 09 \end{matrix}

(

M

és

K

, valamint

m

és

k

eddig befutott pályái tükrös helyzetűek egymással

N

-nek

B

-ből húzott szögfelezőjére nézve), továbbá

H

eddigi elfordulása

2 \cdot 120^{\circ} + 90^{\circ} = 330^{\circ}

, hiszen mindhárom forgás ugyanabban az irányban történt.

H

az eddigi mozgást még

3

-szor ismételve jut vissza az

A B

oldalra, a

H_{0}

helyzetbe, de akkor még csak

O_{12}

esik egybe

O_{0}

-lal,

^{*} O_{0} O_{12} = 19 π / 3 \sqrt[]{3} \approx 11, 49

egység,

H

-nak addigi elfordulása

8 \cdot 120^{\circ} + 4 \cdot 90^{\circ}

, ami

3

teljes fordulat és

240^{\circ}

, vagyis pl.

K_{12} = M_{0}

. Eszerint a csúcsok és oldalfelezőpontok

36

egyszerű elfordulás után jutnak először vissza eredeti helyzetükbe. Elég azonban a

H_{0}

helyzetig számolnunk, amikor

m

először esik egybe

N

egy oldalának (

D A

-nak) felezőpontjával, mert nyilvánvaló, hogy addig

H

mindhárom csúcsa ugyanannyi utat tesz meg, úgyszintén mindhárom oldalfelező pontja is, és a kérdezett utak hossza

4

-szer ennyi. Mármost pl.

\begin{matrix} ^{*} K_{0} K_{9} =^{*} K_{0} K_{3} +^{*} K_{3} K_{9} =^{*} K_{0} K_{3} +^{*} M_{0} M_{6} = (^{*} K_{0} K_{3} +^{*} M_{0} M_{3}) +^{*} M_{3} M_{6} = \\ = 2 \cdot^{*} K_{0} K_{3} +^{*} L_{0} L_{3} = (38 + 3 \sqrt[]{3}) π / 12 \\ ^{*} k_{0} k_{9} = 2 \cdot^{*} k_{0} k_{3} +^{*} l_{0} l_{3} = (11 + 4 \sqrt[]{3}) π / 6, \end{matrix}

eszerint a visszaérkezésig mindegyik csúcs

(38 + 3 \sqrt[]{3}) π / 3 \approx 45, 23

egységnyi, mindegyik oldalfelező pont

(22 + 8 \sqrt[]{3}) π / 3 \approx 37, 55

egységnyi utat tesz meg.

H

eddig

11 \cdot 360^{\circ}

-kal fordul el.

O

pályáját és

M

pályájának első harmadát a 2. ábra,

m

pályáját a 3. ábra mutatja.

4. ábra

II.

N

-et gördítve

H

-n, az eddigi jelöléseket használjuk, továbbá

N

középpontja

Q

(4. ábra). Az

N_{0}

helyzetből kiindulva

L

körüli

120^{\circ}

-os,

k

körüli

90^{\circ}

-os és

M

körüli

120^{\circ}

-os elfordulás után az

N_{3}

helyzet lényegében azonos

N_{0}

-lal, azonban a

\begin{matrix} K, M, L; \end{matrix}

betű helyére rendre a következő lép (és az index 3-mal nő)

\begin{matrix} M, L, K; \end{matrix}

Célszerű

12

-szer kisebb hosszegységet használni, így nem lépnek fel törtek számításunkban. Pontjaink egymás utáni elfordulási sugarait a táblázat tünteti fel.
A fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy az

N_{0}

-lal egybevágó helyzet ismét a

K L

oldalon

3

ilyen, 3 ‐ 3 egyszerű elfordulásból álló mozgásszakaszonként ismétlődik, és

A B

szerepe minden

4

-ikben ismétlődik.

3

és

4

legkisebb közös többszöröse

12

, ezért

N

minden csúcsa

12

ilyen mozgásszakasz, vagyis

36

egyszerű elfordulás után jut vissza kiinduló helyzetébe. Addig mind a négy csúcs ugyanannyi utat tesz meg, hasonlóan a négy oldalfelező pont is egymás között. Az utak közös hossza

3

-szor annyi, mint

A

B

C

D

, ill.

A''

B''

C''

D''

együttes útja az

N_{0}

N_{3}

helyzetek között:

\begin{matrix} 12 π (24 + 2 \sqrt[]{17} + 3 \sqrt[]{2}) \approx 1376 egység, ill. \\ 12 π (5 + 5 \sqrt[]{5} + 2 \sqrt[]{13} + 2 \sqrt[]{17}) \approx 1193 egység. \end{matrix}

Q

viszont már

9

egyszerű elfordulás után visszajut

Q_{0}

-ba, útja

6 π (4 \sqrt[]{5} + 3 \sqrt[]{2}) \approx 248, 6

egység. Visszatérve az eredeti

1

, ill.

2

oldalhosszúságok használatára, az utak:

114, 7

, ill.

99, 4

, ill.

20, 7

egység. ‐

N

elfordulása ismét

11

teljes fordulat,

Q

visszaérkezéséig ennek negyedrésze,

990^{\circ}

Hárs László (Budapest, Kölcsey F. g. II. o. t.)
Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)
Csirmaz László (Budapest, I. István g. II. o. t.)

Megjegyzés. Az eredeti helyzetbe való első visszaérkezésig megteendő ,,út'' ‐ ezen szemléletesen a két idom érintkezési pontjának előhaladását értve ‐ mindkét gördülésre kiadódik ebből az elindulásból is:

H

kerülete

3

N

-é

8

egység, ezek legkisebb közös többszöröse

24

\begin{matrix} \begin{matrix} Forg. közp. & A \end{matrix} \end{matrix}