Kezdőlap


Feladat:	1085. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Marschik Iván
Füzet:	1967/október, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1085. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldali négyzeteket kifejtve a két ,,kétszeres szorzat'' összege $m n p q (8 - 8) = 0$ , és a maradó négyzetes tagok összege szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (2 m p & + 2 n q)^{2} + {(2 m q - 2 n p)}^{2} = 4 m^{2} p^{2} + 4 n^{2} q^{2} + 4 m^{2} q^{2} + 4 n^{2} p^{2} = \\ = 4 (m^{2} + n^{2}) (p^{2} + q^{2}) . \end{matrix}

A jobb oldalon ennek megfelelően célszerű 2‐2 tagot összefoglalni:

\begin{matrix} {((m^{2} + n^{2}) + (p^{2} + q^{2}))}^{2} = {(m^{2} + n^{2})}^{2} + 2 (m^{2} + n^{2}) (p^{2} + q^{2}) + {(p^{2} + q^{2})}^{2} . \end{matrix}

Ennek alapján (1)-ből

\begin{matrix} x^{2} = {(m^{2} + n^{2})}^{2} - 2 (m^{2} + n^{2}) (p^{2} + q^{2}) + {(p^{2} + q^{2})}^{2} = {(m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2})}^{2} . \end{matrix}

Innen

x

lehetséges értékei

\begin{matrix} x_{1} = m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2}, x_{2} = - x_{1} = - m^{2} - n^{2} + p^{2} + q^{2} . \end{matrix}

Ezek megoldásai (1)-nek, mivel átalakításaink visszafelé is elvégezhetők.

Marschik Iván (Budapest, Radnóti M. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Az

x

beírásával adódó azonosság alapján kimondhatjuk, hogy az

m

n

p

q

paraméterek értékét pozitív egész számnak véve a

\begin{matrix} 2 m p + 2 n q, | 2 m q - 2 n p |, | m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2} |, m^{2} + n^{2} + p^{2} + q^{2} \end{matrix}

képletnégyes (térbeli) pitagoraszi számnégyest állít elő, vagyis ha az első három számot vesszük egy téglatest egy csúcsba összefutó élei mértékszámának, akkor a negyedik szám a testátló mértékszáma.