Kezdőlap


Feladat:	1082. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bendl Judit , Monostory László
Füzet:	1967/szeptember, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1082. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A B$ út hossza $s$ (km), a találkozásig eltelt idő $t$ (óra), a két autó sebessége $v_{1}$ , ill. $v_{2}$ (km/óra), a találkozás helye a $T$ pont, a gondolt módosítás esetében pedig az $M$ pont. A sebességeket a tényleg lefolyt és a gondolt mozgásból kifejezve két egyenletet kapunk $s$ -re és $t$ -re:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{A T}{t} & = \frac{A M}{t - \frac{1}{12}}, & azaz & \frac{s - 6, 4}{t} = \frac{6, 4}{t - \frac{1}{12}}, & (1) \\ v_{2} = \frac{B T}{t} & = \frac{M B}{t + \frac{1}{8}}, & \frac{6, 4}{t} = \frac{s - 6, 4}{t + \frac{1}{8}}, & (2) \end{matrix}

ugyanis a sebességek nem változtak, másrészt a kétféle találkozás egyidejűsége miatt az autók menetideje

M

-ig a gondolt esetben

t - 1 / 12

, ill.

t + 1 / 8

óra.
Cseréljük föl (2) két oldalát, majd osszuk az új egyenlettel (1)-et, mindegyik oldalát a megfelelő oldallal:

\begin{matrix} \frac{t + \frac{1}{8}}{t} = \frac{t}{t - \frac{1}{12}}, amiből t = \frac{1}{4} óra . \end{matrix}

Így (1)-ből

s = 16 km

, végül

v_{1} = 38, 4

km/óra,

v_{2} = 25, 6

km/óra.

Bendl Judit ( Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)

II. megoldás. Célhoz érhetünk egyenletek felírása nélkül is. A valódi és a gondolt találkozás közti

M T

utat a

B

-beli autó

1 / 8

óra alatt teszi meg, hiszen a menetidő

1 / 8

órai növelésének eredménye éppen az

M T

úttöbblet. Ugyanezen útszakasz megtevéséhez az

A

-beli autó

1 / 12

órát használ föl (mivel a gondolt helyett a tényleges módon halad). A sebességek fordítva arányosak az ugyanazon út megtevéséhez szükséges időkkel, így az

A

-beli és

B

-beli autó sebességének aránya

(1 / 8) : (1 / 12) = 3 : 2

. Eszerint, mialatt a

B

-beli autó (a tényleges mozgás szerint)

T

-ig

6, 4 km

-t tett meg, az

A

-beli

3 / 2

-szer annyit,

9, 6 km

-t, ebből

A B = 9, 6 + 6, 4 = 16 km

. Továbbá

M T = 3, 2 km

, és a két autó óránként ennek

12

-szeresét, ill.

8

-szorosát teszi meg:

38, 4 km

-t, ill.

25, 6 km

-t.

Monostory László (Budapest, XIX. ker., Ady E. úti Ált. Isk., 8. o. t.)