|
Feladat: |
1076. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bendl Judit , Bolgár G. , Csirmaz László , Csúr E. , Ésik Z. , Fiala T. , Fischer Ágnes , Gádoros Gabriella , Goda B. , Greskovics J. , Hárs L. , Hetzer J. , Jakál L. , Karcaly G. , Környei M. , Lampert L. , László I. , Lengyel Tamás , Lőrincz A. , Michaletzky Gy. , Molnár L. , Nagy Péter , Pataki János , Pete A. , Rákóczi L. , Rohonyi P. , Rokob T. , Sailer K. , Siklósi M. , Soós M. , Stefanovicz K. , Turi András , Vitályos G. |
Füzet: |
1967/április,
172 - 173. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számkörök, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/október: 1076. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A behelyettesítés meglepő eredményre vezet, az I‐III. számhármasok esetében mindig ‐ -ot kapunk, IV. és V. esetében pedig egyformán -et. Vegyük észre, hogy második szorzatának első tényezője azonos az első szorzat harmadik tényezőjével, a 3. szorzat 1. tényezője a 2. szorzat 3. tényezőjével, 3. tényezője pedig az 1. szorzat 1. tényezőjével, ‐ továbbá, hogy mindegyik szorzatban a 3. tényező egyenlő az előtte álló két tényező összegével. Ezeket felhasználjuk a kívánt szorzattá alakításban. Jelöljük egy-egy betűvel az 1. szorzat 1., 2., valamint a 2. szorzat 2. tényezőjét: | | ekkor így írható, majd alakítható:
Itt a három tényező rendre első, második, harmadik szorzata 2. tényezőjének -szerese, ennélfogva | | (1) |
Itt a 2. tényező úgy képezhető az 1.-ből, a 3. tényező is a 2.-ból (végül még az 1. is a 3.-ból), hogy az , , betű helyére rendre , , betűt írunk, a szokásos kifejezéssel: -et, -t és -t ciklikusan fölcseréljük. Ugyanígy áll elő a III. számhármas az I-ből, ez a magyarázata annak, hogy III. és I. esetében ugyanazt az értéket kaptuk -ra, hiszen -nak (1) alakjában így csak a tényezők sorrendje változik meg. Azt is látjuk, hogy , , helyére rendre az , , számot írva, ahol tetszés szerinti szám, (1) tényezői változatlanok maradnak, mert pl. az elsőben ugyanannyival változik, mint az . Ez magyarázza meg a II. és az I. számhármasok esetében adódott egyenlőséget, . A IV. és V. eredmények megegyezésének magyarázatában (1) mindkét észrevett tulajdonságát fölhasználjuk: Legyen , ekkor a második tulajdonsága szerint a IV. számhármassal megegyező értéket ad az , , számhármas, ebből viszont ciklikus cserével adódik az V. számhármas.
Megjegyzés. egyszerűbb alakra hozása számos más módon is lehetséges. Pl. a szorzatok 1. tényezője helyére egy-egy új betűt bevezetve: | | összefüggéseinket egyenletrendszernek tekinthetjük, -et, -t és -t ismeretleneknek, -t, -t, -et paramétereknek tekintve. Innen | | ezekkel az 1. szorzat 2. tényezője | | amit fönt is észrevettünk. Hasonlóan a 2. és a 3. szorzat 2. tényezője , . -nak így adódó | | alakját sem nehéz alakra hozni. Nem lehetne viszont hasonló alakítást végezni pl. az 1. szorzat tényezőit véve paramétereknek, mert ‐ mint láttuk ‐ ezek nem függetlenek egymástól.
Csirmaz László (Budapest, I. István g. II. o. t.) |
|