Kezdőlap


Feladat:	1076. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bendl Judit , Bolgár G. , Csirmaz László , Csúr E. , Ésik Z. , Fiala T. , Fischer Ágnes , Gádoros Gabriella , Goda B. , Greskovics J. , Hárs L. , Hetzer J. , Jakál L. , Karcaly G. , Környei M. , Lampert L. , László I. , Lengyel Tamás , Lőrincz A. , Michaletzky Gy. , Molnár L. , Nagy Péter , Pataki János , Pete A. , Rákóczi L. , Rohonyi P. , Rokob T. , Sailer K. , Siklósi M. , Soós M. , Stefanovicz K. , Turi András , Vitályos G.
Füzet:	1967/április, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1076. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$α)$ A behelyettesítés meglepő eredményre vezet, az I‐III. számhármasok esetében mindig ‐ $286$ -ot kapunk, IV. és V. esetében pedig egyformán $884$ -et.
$β)$ Vegyük észre, hogy $K$ második szorzatának első tényezője azonos az első szorzat harmadik tényezőjével, a 3. szorzat 1. tényezője a 2. szorzat 3. tényezőjével, 3. tényezője pedig az 1. szorzat 1. tényezőjével, ‐ továbbá, hogy mindegyik szorzatban a 3. tényező egyenlő az előtte álló két tényező összegével. Ezeket felhasználjuk a kívánt szorzattá alakításban. Jelöljük egy-egy betűvel az 1. szorzat 1., 2., valamint a 2. szorzat 2. tényezőjét:

\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = A, 2 x - y - z = B, 2 y - z - x = C, \end{matrix}

ekkor

K

így írható, majd alakítható:

\begin{matrix} K & = A B (A + B) + (A + B) \cdot C \cdot (A + B + C) + (A + B + C) \cdot [A - (A + + C)] \cdot A = \\ = A B (A + B) + (A + B + C) (B C - A B) = B [(A^{2} + A B) + (C^{2} - A^{2}) + (B C - \\ - A B)] = B C (B + C) = (- B) \cdot (- C) \cdot (B + C) . \end{matrix}

Itt a három tényező rendre

K

első, második, harmadik szorzata 2. tényezőjének

(- 1)

-szerese, ennélfogva

\begin{matrix} K = (y + z - 2 x) \cdot (z + x - 2 y) \cdot (x + y - 2 z) . \end{matrix}

(1)

γ)

Itt a 2. tényező úgy képezhető az 1.-ből, a 3. tényező is a 2.-ból (végül még az 1. is a 3.-ból), hogy az

x

y

z

betű helyére rendre

y

z

x

betűt írunk, a szokásos kifejezéssel:

x

-et,

y

-t és

z

-t ciklikusan fölcseréljük. Ugyanígy áll elő a III. számhármas az I-ből, ez a magyarázata annak, hogy III. és I. esetében ugyanazt az értéket kaptuk

K

-ra, hiszen

K

-nak (1) alakjában így csak a tényezők sorrendje változik meg.
Azt is látjuk, hogy

x

y

z

helyére rendre az

x + u

y + u

z + u

számot írva, ahol

u

tetszés szerinti szám, (1) tényezői változatlanok maradnak, mert pl. az elsőben

2 x

ugyanannyival változik, mint az

y + z

. Ez magyarázza meg a II. és az I. számhármasok esetében adódott egyenlőséget,

u = 10

.
A IV. és V. eredmények megegyezésének magyarázatában (1) mindkét észrevett tulajdonságát fölhasználjuk: Legyen

u = - 3

, ekkor a második tulajdonsága szerint a IV. számhármassal megegyező értéket ad az

x = 1 - 3 = - 2

y = 8 - 3 = 5

z = 11 - 3 = 8

számhármas, ebből viszont ciklikus cserével adódik az V. számhármas.

Megjegyzés.

K

egyszerűbb alakra hozása számos más módon is lehetséges. Pl. a szorzatok 1. tényezője helyére egy-egy új betűt bevezetve:

\begin{matrix} x + 2 y + 3 z = D, y + 2 z + 3 x = E, z + 2 x + 3 y = F, \end{matrix}

összefüggéseinket egyenletrendszernek tekinthetjük,

x

-et,

y

-t és

z

-t ismeretleneknek,

D

-t,

E

-t,

F

-et paramétereknek tekintve. Innen

\begin{matrix} x = \frac{1}{18} (- 5 D + 7 E + F), y = \frac{1}{18} (D - 5 E + 7 F), z = \frac{1}{18} (7 D + E - 5 F), \end{matrix}

ezekkel az 1. szorzat 2. tényezője

\begin{matrix} 2 x - y - z = \frac{1}{18} (- 18 D + 18 E) = E - D, \end{matrix}

amit fönt is észrevettünk. Hasonlóan a 2. és a 3. szorzat 2. tényezője

F - E

D - F

K

-nak így adódó

\begin{matrix} S = D \cdot (E - D) \cdot E + E \cdot (F - E) \cdot F + F \cdot (D - F) \cdot D \end{matrix}

alakját sem nehéz

(E - D) (F - E) (D - F)

alakra hozni.
Nem lehetne viszont hasonló alakítást végezni pl. az 1. szorzat tényezőit véve paramétereknek, mert ‐ mint láttuk ‐ ezek nem függetlenek egymástól.

Csirmaz László (Budapest, I. István g. II. o. t.)