Kezdőlap


Feladat:	1074. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1967/április, 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat, Kombinatorikus geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1074. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A terv szerint megjelölt $5$ négyzet mindig belefoglalható egy $3 \times 3$ -as négyzetbe, nevezzük ezt az egységet keretnek. Egy határozott keret számaiból az illető számára $4$ összeállítás felel meg aszerint, hogy különálló négyzetnek a keret melyik saroknégyzetét választja. Az adott példánál maradva a további $3$ összeállítás a következő: $39$ , $55$ , $56$ , $70$ , $71$ ; $41$ , $54$ , $55$ , $69$ , $70$ ; $71$ , $39$ , $40$ , $54$ , $55$ . Eszerint a kérdés lényegén nem változtat, ha játékosunk így egészíti ki tervét: minden héten más keret $4$ megfelelő számötösét teszi meg. Így annyi hétig kell játszania, ahány keret választható a lottószelvényről.
A keret meghatározásához elég megadni a bal fölső mezejébe írt számot, a példán a $39$ -et; nevezzük ezt a keret vezérszámának. A vezérszám a szelvénynek csak első $4$ sorából, egyszersmind első $13$ oszlopából választható. Eszerint $4 \cdot 13 = 52$ vezérszám van, tehát játékosunknak éppen $1$ évig kell játszania a terve szerint.

Megjegyzések. 1. Kissé bonyolultabb úgy meghatározni a lehetőségek számát, hogy előbb a

2 \times 2

-es ,,kis kereteket'' vesszük számba, majd szétválasztjuk őket az ötödik négyzet csatlakozására alkalmas, ,,szabad'' csúcsaik száma szerint. A legtöbb dolgozat így, vagy még bonyolultabban oldotta meg a feladatot.
A fentihez hasonló számítás szerint

5 \cdot 14 = 70

kis keret van. Közülük

2 \cdot 2 = 4

a szelvény sarkában van,

2 (14 - 2) + 2 (5 - 2) = 30

csak egy oldalával csatlakozik a határvonalához, a többi

(14 - 2) (5 - 2) = 36

a belsejében. Szabad csúcsaik száma rendre

1

2

4

, így a kitöltések száma

4 \cdot 1 + 30 \cdot 2 + 36 \cdot 4 = 208

. Ennyi szelvényt

52

hét alatt tölt ki a játékos. Az utóbbi eljárásban az

\begin{matrix} (a - 2) (b - 2) \cdot 2 \cdot 2 = (a - 3) (b - 3) \cdot 2 \cdot 2 + (a - 3) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot (b - 3) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \end{matrix}

azonosságban ‐ ahol

a

a szelvény sorainak,

b

pedig az oszlopainak számát jelöli ‐ a bonyolultabb oldalt számítottuk ki.
2. Több dolgozat ilyenféleképpen kezdődik: ,,a keresett számot úgy kell kiszámítani, hogy

...

''. A fentiek szerint ebben a feladatban nincs ,,kell''. Azt viszont érdemes szem előtt tartani, hogy gyakran lehet több út közül választani, és ilyenkor érdemes keresni az egyszerűbbet. Éljünk nyelvünk gazdag szókincsével!