A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megpróbáljuk megismételni András összeállítását. Az adott négyzet területének összege területegység. Ha András állítása igaz, akkor a téglalap kétféle oldala mértékszámának szorzata is , ezért keresnünk kell e szám előállításait két-tényezős szorzat alakban, egész számokból. Mivel azonban legnagyobb négyzetünk oldala ‐ és négyzeteink nem darabolhatók szét, azért a téglalap rövidebb oldalának, egyik tényezőjének legalább -nak kell lennie. Így viszont a hosszabb oldal, a másik tényező, legfeljebb annyi lehet, mint a osztás egész része, . Könnyen kereshetjük szorzat felbontását prímszámok hatványából képezett szorzatként való előállítása alapján: . Eszerint egyik tényező olyan többszöröse, melynek ugyanilyen előállításában nem lép fel más prímszám, mint és , és a is legfeljebb az . hatványon. Ilyen többszöröse a mondott korlátok között , és , az előállítások Az első és az utolsó előállításból adódó téglalapba a oldalú négyzetet beillesztve a lefedetlen részben marad egy egységnyi hosszú és , ill. egységnyi széles sáv (téglalap) ‐ vagy két olyan sáv, melyek szélessége együtt , ill. egység ‐, hiszen a szétdarabolás tilalma miatt a négyzetek oldalai csak párhuzamosak lehetnek a téglalap oldalaival. Ilyen sávba csak a és egységnyi oldalú négyzetünk fér bele, de együtt sem elegendők a sáv lefedéséhez, tehát e két felbontás nem adhatta András téglalapjának négyzeteit.
A és egységnyi oldalakkal bíró téglalap az ábra szerint kirakható négyzeteinkkel. Így Bélának nincs igaza. Andrásnak akkor van igaza, ha valóban megtalálta az ábránkbeli felbontást, vagy valamely más felbontást.
Göndöcs Ferenc (Kapuvár, II. sz. Ált. Isk. 8. o. t.) Fischer Ágnes (Budapest, Móricz Zs. Gimn., I. o. t.)
Megjegyzés. Az ábrabeli elrendezéshez elvezet következő gondolatmenet. A egységnyi ‐ röviden -es ‐ négyzet nem csatlakozhat a kitöltendő téglalap határvonalához, különben a csatlakozó oldalával szomszédos oldalához csatlakozó nagyobb négyzetek (vagy a -esnek sarokba illesztése esetén egyikük helyett a téglalap oldala) egységnyi szélességű sávot határolnak. Ugyanezért nagyobb négyzet oldalához is csak úgy csatlakozhat a -es négyzet, ha egy csúcsuk közös. Így letéve a -es szomszédját , csak további négyzetünk marad. Ha az eddigi négyzettel lefedett síkrész határvonala sok ki- és beszögellést mutat, alig van remény, hogy téglalapot kapunk. Javulna a kilátás, ha két letett szomszédos négyzetnek a csatlakozásival szomszédos, külső oldala egy egyenesbe esnék. Ekkor oldalaik különbsége . Az adott oldalhosszak szomszédos párjai között ez -szor is fellép: , , , között. Ezeket véve rendre az , , , négyzet oldalának, az négyzet egy egységnyi beszögellés híján téglalapot fed le és egységnyi, oldallal. Az összeállítást csak a beszögellésben folytathatjuk, így az eddigi, a mondott téglalap teljes oldalai a keresett téglalap határvonalszakaszai lesznek. A beszögellést -osra kisebbíthetjük a -as négyzettel, a -es oldalt a keresett téglalapnak csak a -es oldalára egészíthetjük ki a -as négyzettel, és hasonlóan a -as oldal csak -ra egészíthető ki a -assal. Ezek nem hoznak létre új kiszögellést, mert és . Végül a -osra nőtt beszögellést éppen kitölti legnagyobb négyzetünk. |