Kezdőlap


Feladat:	1072. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Monori Sándor
Füzet:	1967/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Mértani helyek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1072. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a körív végpontja az $O Q_{1}$ szögszáron $A$ , $O Q_{2}$ -n $B$ . $O C_{1}$ felezi a $Q_{1} O P = A O P$ szöget, így az $O C_{1} A$ háromszög $O C_{1} P$ -nek tükörképe. Másrészt $P C_{1}$ felezi az $O P Q_{1}$ derékszöget, ezért $O A C_{1} ∢ = O P C_{1} ∢ = 45^{\circ}$ , és ugyanígy $O B C_{2} = 45^{\circ}$ . Mivel még $O B A ∢ = O A B ∢ = 45^{\circ}$ , azért $C_{1}$ , $C_{2}$ az $A B$ szakasz pontjai, hiszen benne vannak az $A O B$ derékszögtartományban.

Messe

A B

-t az

A O B

szögfelezője

F

-ben.

A O P ∢ < 90^{\circ}

, ezért

A O C_{1} ∢ < 45^{\circ} = A O F ∢

, eszerint

C_{1}

csak az

A F

szakaszon lehet, hasonlóan

C_{2}

csak az

F B

-n. Nem lehet azonban

C_{1}

A

-ban, sem

C_{2}

B

-ben, és egyikük sem lehet

F

-ben, mert akkor

P

, mint

A

-nak

O C_{1}

-re, ill.

B

-nek

O C_{2}

-re való tükörképe az

A

-ban vagy

B

-ben volna, és az

O P Q_{1}

O P Q_{2}

háromszögek egyike nem jönne létre, mert a

P

-beli érintő párhuzamos lenne

O B

-vel, ill.

O A

-val, másikuk pedig egyenesszakasszá fajulna.
Az

F A

szakasz bármely belső pontja viszont létrejön

C_{1}

-ként, ti. ha

P

-ként

A

-nak

O C_{1}

-re való tükörképét vesszük (hiszen így

0^{\circ} < A O C_{1} ∢ < 45^{\circ}

miatt

P

A B

negyedkörív belső pontja lesz). Hasonlóan a

B P

szakasz minden belső

C_{2}

pontjához van egy olyan belső

P

pontja az

A B

ívnek, amelyből kiindulva az

O P Q_{2}

háromszög beírt körének középpontja

C_{2}

.
Ezek szerint

C_{1}

F

szakasz belsejét,

C_{2}

pedig

F B

belsejét írja le ‐ és-pedig az

A F

, ill.

F B

irányban ‐, míg

P

végigfut az

A B

negyedív belső pontjain.

Monori Sándor (Székesfehérvár, Teleki B. g. I. o. t.)