Kezdőlap


Feladat:	1070. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1967/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1070. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Felvesszük a körülírt $k$ kört, és egy tetszés szerinti $A$ pontja körül az oldallal mint sugárral írt körrel kimetsszük a $B$ csúcsot (1. ábra). Az oldalra egyik végpontjában felmérjük az adott szöget, ennek új szára kimetszi $k$ -ból a háromszög harmadik, $C$ csúcsát. ‐ Nyilvánvaló, hogy az $A B C$ háromszög megfelel a feltételeknek.

1. ábra

A feladat megoldható, ha az előírt oldal nem nagyobb a kör átmérőjénél, továbbá ha az

A B

húr mindkét partjára fölmért szög közül legalább az egyiknek a szára metszi a kört. Legyen

k

sugara

r

, az adott oldal

c

c ≦ 2 r

. Ezek a

γ

szög számára csak azt a két értéket engedik meg,

γ_{1}

-et és

γ_{2}

-t, amekkora szögben a kör pontjaiból az

A B

húr látható (

c = 2 r

esetén pedig

γ_{1} = γ_{2} = 90^{\circ}

). A feltétel:

α + γ < 180^{\circ}

, ez teljesülhet

γ_{1}

és

γ_{2}

mindegyikével, vagy csak a kisebbikkel, vagy pedig egyikkel sem. A megoldások száma eszerint 2, 1 vagy 0.
b) Induljunk ki az előírt

α

szögből. Húzzunk párhuzamost egyik szárával a szögtartományon belül akkora távolságban, mint a beírt kör

ϱ

sugara, és messük ezt a szög felezőjével; a beírt kör középpontja csak az

O

metszéspont lehet. Rajzoljuk meg e körül a szög szárait érintő kört, mérjük föl a szög egyik szárára az adott

c = A B

oldalt, ekkor a

B

végpontjából a körhöz húzott második érintő metszi ki a szög másik szárából a hátra levő

C

csúcsot. ‐ A kapott háromszög nyilvánvalóan megfelel a követelményeknek (2. ábra).

2. ábra

A kör bármilyen (

0^{\circ}

és

180^{\circ}

közötti) szög és sugár adat esetében megszerkeszthető. Az érintő csak akkor felel meg, ha a

c

szakasz hosszabb, mint a körnek a másik szárral párhuzamos érintője által az

A B

szárból lemetszett

A B^{*}

szakasz:

A B > A B^{*}

. (Ugyanis

A B = A B^{*}

esetén a második érintő nem metszi a szög másik szárát,

A B < A O'

esetén ‐ ahol

O'

O

vetülete az

A B

száron ‐ metszi ugyan, de a kör kívülről érinti a

B C

oldalt,

A B = A O'

esetén nincs

B

-n át második érintő, végül

A O' < A B < A B^{*}

esetén a második érintő a szög másik szárának a meghosszabbítását metszi.) A feladatnak 1 vagy 0 megoldása van.