A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Felvesszük a körülírt kört, és egy tetszés szerinti pontja körül az oldallal mint sugárral írt körrel kimetsszük a csúcsot (1. ábra). Az oldalra egyik végpontjában felmérjük az adott szöget, ennek új szára kimetszi -ból a háromszög harmadik, csúcsát. ‐ Nyilvánvaló, hogy az háromszög megfelel a feltételeknek.
1. ábra A feladat megoldható, ha az előírt oldal nem nagyobb a kör átmérőjénél, továbbá ha az húr mindkét partjára fölmért szög közül legalább az egyiknek a szára metszi a kört. Legyen sugara , az adott oldal , . Ezek a szög számára csak azt a két értéket engedik meg, -et és -t, amekkora szögben a kör pontjaiból az húr látható ( esetén pedig ). A feltétel: , ez teljesülhet és mindegyikével, vagy csak a kisebbikkel, vagy pedig egyikkel sem. A megoldások száma eszerint 2, 1 vagy 0. b) Induljunk ki az előírt szögből. Húzzunk párhuzamost egyik szárával a szögtartományon belül akkora távolságban, mint a beírt kör sugara, és messük ezt a szög felezőjével; a beírt kör középpontja csak az metszéspont lehet. Rajzoljuk meg e körül a szög szárait érintő kört, mérjük föl a szög egyik szárára az adott oldalt, ekkor a végpontjából a körhöz húzott második érintő metszi ki a szög másik szárából a hátra levő csúcsot. ‐ A kapott háromszög nyilvánvalóan megfelel a követelményeknek (2. ábra).
2. ábra A kör bármilyen ( és közötti) szög és sugár adat esetében megszerkeszthető. Az érintő csak akkor felel meg, ha a szakasz hosszabb, mint a körnek a másik szárral párhuzamos érintője által az szárból lemetszett szakasz: . (Ugyanis esetén a második érintő nem metszi a szög másik szárát, esetén ‐ ahol az vetülete az száron ‐ metszi ugyan, de a kör kívülről érinti a oldalt, esetén nincs -n át második érintő, végül esetén a második érintő a szög másik szárának a meghosszabbítását metszi.) A feladatnak 1 vagy 0 megoldása van. |