Kezdőlap


Feladat:	1068. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Banyó Tamás , Polányi László
Füzet:	1967/március, 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1068. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első két tört összeadásában közös nevezőnek az $x y (x - y) \cdot (x - z) (y - z)$ szorzatot véve, a számlálók összege így alakítható:

\begin{matrix} (a + x) y (y - z) - (a + y) x (x - z) = a (y^{2} - x^{2}) + \\ + x y (y - x) - a z (y - x) = (y - x) (a x + a y - a z + x y), \end{matrix}

ezért az első két tört összege:

\begin{matrix} S = \frac{a z + a y - a z + x y}{x y (z - x) (y - z)} . \end{matrix}

(Egyszerűsítettünk

y - x

-szel, ami megengedett, mert ha

0

volna, akkor az adott kifejezésnek nem lenne értelme.)

S

és a harmadik tört összeadásában közös nevezőnek

x y z (z - x) (y - z)

-t véve, a számlálók összege így alakítható:

\begin{matrix} (a x + a y - a z + x y) z - (a + z) x y = a y (z - x) - a z (z - x) = a (z - x) (y - z), \end{matrix}

ennélfogva, élve az egyszerűsítési lehetőséggel

\begin{matrix} K = \frac{a}{x y z}, \end{matrix}

amennyiben

x

y

z

egymástól és

0

-tól különböző számok.

Banyó Tamás (Veszprém, Lovassy L. Gimn. II. o. t.)

Megjegyzés. Valamivel egyszerűbb a fenti számítás, ha észrevesszük, hogy a számlálók második tagjai elhagyhatók. Valóban, mindegyik törtet két tört összegére bontva, a második tag számlálójával mindig egyszerűsíthetünk, és ennek a három tagnak az összege eltűnik:

\begin{matrix} \frac{1}{(x - y) (x - z)} + \frac{1}{(y - z) (y - x)} + \frac{1}{(z - x) (z - y)} = \frac{(y - z) - (x - z) + (x - y)}{(x - y) (x - z) (y - z)} = 0. \end{matrix}

Polányi László (Székesfehérvár, József A. Gimn., II. o. t.)