Feladat: 1067. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bárd Péter András ,  Csur Endre ,  Pál László 
Füzet: 1967/február, 73 - 74. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Kombinációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/szeptember: 1067. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1
I. megoldás. I. A 9‐13 számok összes előállítása az 1‐10 egész számokból választott két különböző szám összegeként:

19=1+18=2+7=3+6=4+5,10=1+19=2+8=3+7=4+6,11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,12=2+10=3+9=4+8=5+7,13=3+10=4+9=5+8=6+7.

9-et 1+8 alakban előállítva 10-et a fel nem használt számokból 3+7 és 4+6 alakban kaphatjuk. Az első esetben 12-t és 13-at már csak a 2+10, ill. 4+9 adhatja ki, és a hátra levő 5+6 előállítja a 11-et, hiszen az 1‐10 számok összege egyenlő a 9‐13 számok összegével, ezért az első négy előállításban föl nem használt két szám összege mindig a még hátra levő összeget adja. A második esetben pedig csak a 11=2+9 és 13=3+10 előállításoknak szabad mindkét tagja.
9-et 2+7 alakban véve 10-re ismét két lehetőség marad: 1+9 és 4+6. Az első esetben 12 már csak 4+8 alakban állítható elő, és ezért 13 csak a 3+10 alakban, a másodikban pedig egyértelműen 12=3+9, és ezért 13=5+8.
9-et 3+6 alakban képezve vagy 10=1+9, vagy 10=2+8. Az első esetben csak 11=4+7 és 13=5+8 marad lehetséges, a másodikban csak 12=5+7 és 13=4+9. Utoljára a 9=4+5 előállításból kiindulva 10-re három előállítás marad fenn, viszont a 12-re csak kettő, célszerű ezzel folytatni a párokba rendezést. Véve a 12=2+10-et, már csak 11=3+8 és 13=6+7 marad; ha pedig 12=3+9, akkor 13=6+7, 11=1+10.
Ezzel a 9-es szám minden előállítását minden lehető módon teljes párokba rendezéssé fejlesztettük, minden kívánt csoportosítást előállítottunk és a következő 8 csoportosítást kaptuk:
910111213I.1+83+75+162+104+19II.1+84+62+195+173+10III.2+71+95+164+183+10IV.2+74+61+103+195+18V.3+61+94+172+105+18VI.3+62+81+105+174+19VII.4+51+93+182+106+17VIII.4+52+81+103+196+17

Eszerint a számpárok összegei nem mindig határozzák meg egyértelműen a számok párokba rendezését.
 
II. Az 1-es szám párját 9‐féleképpen választhatjuk meg a többi számok közül. Mindegyik párbaállítást 7‐féleképpen folytathatjuk úgy, hogy a második pár első tagjának a még rendelkezésre álló számok legkisebbikét választjuk, mert így e pár második száma mindig 7‐féleképpen választható a további 7 szám közül, tehát az ilyen továbbfejlesztések száma 9⋅7. Hasonlóan a harmadik, majd a negyedik pár első tagjának a még pár nélkül állók legkisebbikét véve, ennek párját a 3. párban 5‐féleképpen, a 4. párban 3‐féleképpen választ hatjuk, tehát a továbbfejlesztések száma előbb 9⋅7⋅5-re, majd 9⋅7⋅5⋅3=945-re emelkedik. Ennyi az 5 párba rendezés lehetőségeinek száma, mert mindig figyelembe vettük a továbbfejlesztés minden lehetőségét, ezek mind különböznek egymástól legalább egy párban, végül mert a kialakított 4 pár minden esetben meghatározza az ötödik párt is. ‐ Eszerint az illető helyesen számolt.
 
 Pál László (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. I. o. t.)
 Csur Endre (Budapest, Könyves Kálmán g. II. o. t.)
 
II. megoldás a feladat II. kérdésére. n különböző elemből kettőt n(n-1)/2-féleképpen lehet kiválasztani, mert a pár első tagjának n-féle kiválasztása után a 2. tagot csak n-1-féleképpen választhatjuk, az így adódó n(n-1) párba állítási lehetőség azonban minden párt 2-szer ad meg, pl. a, b és b, a alakban. Eszerint ha a cédulákra felírt 10 számunk párokba rendezését úgy hajtjuk végre, hogy egy zacskóból egymás után négyszer 2‐2 cédulát húzunk ki 1‐1 pár tagjaiként, és a bennmaradt 2 számot is egy párnak tekintjük, ezt
10⋅92⋅8⋅72⋅6⋅52⋅4⋅32
féleképpen végezhetjük el.
 
Így azonban minden egyes 5 párba rendezést többször is megkapunk, mégpedig annyiszor, ahányféleképpen 5 különböző tárgyat ‐ itt a párokat ‐sorba lehet állítani. Erre 2⋅3⋅4⋅5 lehetőség van, mert letéve egy tárgyat, a másodikat ehhez képest 2-féleképpen helyezhetjük el: eléje és mögéje, a harmadikat 3-féleképpen: az első elé, a második elé és a második mögé s í. t.
 
Most már a 10 szám 5 párba állítási lehetőségeinek számát ‐ ha a párok sorrendjét nem tekintjük ‐ úgy kapjuk, hogy a fentebbi számot osztjuk az utóbbival:
10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅324⋅2⋅3⋅4⋅5=5⋅9⋅7⋅3=945.

 Bárd Péter András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)
1Ez a feladat az Élet és Tudomány 1966. évi 49. számának rejtvénye volt.