Kezdőlap


Feladat:	1063. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy E. , Bálványos Z. , Bulkai T. , Csirmaz László , Gegesy F. , Geier J. , Grósz T. , Hárs László , Horváth S. , Kóczy L. , Lengyel Tamás , Mérő László , Moson Péter , Péli Katalin , Somos E. , Szenes Katalin , Szűcs András , Takács L. , Tátray Péter , Vályi I.
Füzet:	1967/április, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Körülírt kör, Beírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 1063. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az $M$ -ből $A B$ -re és $A C$ -re bocsátott merőleges talppontja csak akkor esik az oldal $A$ -n túli meghosszabbítására, ha $M A B ∢$ , $M A C ∢ > 90^{\circ}$ azaz $A$ , $C$ , $B$ az $M$ -ből induló átmérő egy oldalán van (1. ábra). Ha a félkörön ebben a sorrendben helyezkednek el, akkor $A C B ∢ = γ > 90^{\circ}$ , és ekkor egyszersmind $M C B ∢ > 90^{\circ}$ , tehát a $C B$ -n levő vetület $C B$ -nek $C$ -n túli meghosszabbításán van. Mindez addig áll, míg $M$ a $B$ -t, $C$ -t nem tartalmazó $A B'$ íven van, ahol $B'$ a $B$ -nek átellenes pontja. Ekkor hasonlóan csak a $B A'$ ív $M$ pontjaiból bocsátott merőlegesek talppontja van $B A$ -nak és $B C$ -nek $B$ -n túli meghosszabbításán, $A C$ -nek $C$ -n túli meghosszabbításán ( $A'$ az $A$ átellenes pontja a körben).
A mondott $A B'$ , $A' B$ ívek egymás tükörképei a kör $O$ középpontjára, így mindegyik $4 / 10$ része a kör kerületének, $A O B' = 144^{\circ}$ . Ez a szög másrészt $180^{\circ}$ -kal kisebb, mint az $A C B ∢$ szárai közti íven nyugvó $2 γ$ középponti szög: $2 γ - 180^{\circ} = 144^{\circ}$ , $γ = 162^{\circ}$ . Ezt kerestük.

\begin{matrix} 1. és 2. ábra \end{matrix}

b) Az oldalakra a csúcsokban merőlegest emelve kell lennie olyan merőlegesnek, melynek az oldallal ellentétes partján van pontja a

k

beírt körnek. Ez nyilván csak tompaszögű csúcsban emelt merőleges lehet, és az innen emelt merőlegesek mindegyike belemetsz a körbe, éspedig egyenlő íveket metsz le, mert a két merőleges egymás tükörképe a csúcsból induló szögfelezőre, ez viszont

k

-nak is szimmetriatengelye.
Legyen

A C B ∢ = γ > 90^{\circ}

(2. ábra), messe a

C B

-re,

C A

-ra

C

-ben emelt merőleges

k

-t a

D

D'

, ill.

E

E'

pontpárban, és legyen

k

középpontjának

C A

-n és

C E

-n levő vetülete

O'

, ill.

O_{1}

. Ekkor a félkörnél rövidebb

D D'

E E'

ívek egyenlők, és

N

-et pl. az

E E' = i

íven véve, a

C A

egyenesen levő vetülete az oldal

C

-n túli meghosszabbításán adódik,

C B

-n levő vetülete viszont

C

és

B

között, mert

N

B C E ∢ = γ - 90^{\circ}

hegyesszög-tartományban van, az

A B

-n levő vetülete pedig ugyanígy

A

és

B

között, hiszen

α

β < 90^{\circ}

.
Adatunk szerint

E O O_{1} ∢ = 360^{\circ} \cdot 2 / 10 = 72^{\circ}

, így

\begin{matrix} O O_{1} = O E cos 72^{\circ}, C O' = O O' ctgγ/2=OEcotgγ/2, \end{matrix}

és

O O_{1} = C O'

-ből

\begin{matrix} cotg γ / 2 = cos 72^{\circ} \approx 0, 3090, γ / 2 \approx {72, 83}^{\circ}, γ \approx {145, 7}^{\circ} . \end{matrix}

A háromszög másik két szögét sem az a), sem a b) esetben nem lehet meghatározni az adatokból.

Szűcs András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)