|
Feladat: |
1062. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Backhausz Beáta , Bálványos Z. , Bulkai T. , Csirmaz László , Dobozy O. , Dőry Anna , Eszes G. , Fehér Mária , Gegesy Ferenc , Geier J. , Grosz Tamás , Hárs László , Horváth S. , Juhász Ágnes , Katona V. , Kele A. , Lengyel Tamás , Lublóy L. , Mérő László , Mészáros J. (Makó) , Orbán G. , Péli Katalin , Pintz János , Rajczy Péter , Schön G. , Somos E. , Szűcs András , Takács L. , Tátray P. , Vályi I. , Várhelyi F. , Vetier A. |
Füzet: |
1967/április,
162 - 165. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Fizikai jellegű feladatok, Tengelyes tükrözés, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Egyenes, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/május: 1062. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a pontok helyzete egy tetszés szerinti időpontban , , az és szakasz felezőpontja , ill. . Ekkor , , és ‐ a közös sebesség állandó, vagy tetszés szerint változó voltától függetlenül ‐ a megtett utak egyenlők: , és így a pontok -tól mért távolságainak különbsége bármely helyzetben , állandó. (A két sebességnek természetesen csak az abszolút értékét tekintjük.) Ezért ‐ miután az egyik pont helyzetét a megfelelő szögszáron megválasztottuk ‐ megszerkeszthetjük a másik pont ugyanazon időpontbeli helyzetét a másik száron. Néhány helyzetpárhoz megszerkesztve -et, ezek egy az -ből kiinduló félegyenesen sorakoznak, és úgy látszik, hogy a félegyenes párhuzamos az szög felezőjével. Ezt fogjuk bizonyítani. esetén a tükörképe -re, így és is tükrös pontpár, , rajta van -en, és az -nek -től távolodó félegyenesét írja le. 1. ábra Ennek alapján könnyen bizonyíthatjuk állításunkat az esetre (1. ábra). Legyen , tükörképe -re , , ekkor egyrészt | | (1) | vagyis állandó távolságban követi -et. Legyen még , felezőpontja , ill. , ekkor, mint láttuk, az -en halad, -ből kiindulva és -tól távolodva, hiszen az derékszögű háromszög hasonló -hez, és így miatt . Másrészt a háromszögnek -gyel, azaz -val párhuzamos középvonala, így (1) szerint fele akkora, mint , vagyis egyenlő -vel, hiszen ez a háromszög -val párhuzamos középvonala; és ugyanezért irányban is megegyeznek. Így pedig paralelogramma, valóban csak azon az félegyenesen lehet, amely -nek félegyeneséből irányú és nagyságú eltolással áll elő, vagyis kezdőpontja és párhuzamos -fel, amint állítottuk. minden pontja hozzátartozik a mozgó pontok közti szakasz felezőpontja által leírt vonalhoz. Messe ugyanis az -val -on át húzott párhuzamos -et -ban, a -ban -re állított merőleges -t -ban, ekkor és a által -ból kimetszett a mozgó pontok -ot előállító helyzetei, mert -re való tükörképét -gal jelölve egyrészt és miatt felezi -ot, másrészt továbbá miatt és , tehát a két mozgó pont áthalad -on, ill. -on, mégpedig ugyanabban a pillanatban. Megjegyezzük végül, hogy az kivételes esetben állandóan -ben adódik.
2. ábra Legyen -nek, -nek első harmadoló pontja , ill. . Ezek meghatározásában és szerepe nem egyenrangú, ezért nem nyilvánvaló, hogy tehetünk-e megszorítást és nagyságviszonyára. A 2. ábrán ismét , ehhez fűzzük megoldásunkat, de vázoltuk rajta a szakasz -hez közelebbi , harmadoló pontját is (hiszen így , betűcserével , és az -hoz közelebbi harmadolópont). Az olvasó könnyen beláthatja, hogy nincs különbség és pályájának, mértani helyének megállapításában. néhány helyzetének kijelölése most is azt sejteti, hogy a keresett mértani hely egy a -ból kiinduló félegyenes. ‐ Tekintsük ismét a -ből indult pont tükörképének mozgását az szög felezőjére (, ), és jelöljük ki -n -et, -en -et úgy, hogy . Ekkor , , valamint (1) miatt egyrészt , közös irányuk , ezért paralelogramma. Másrészt . Eszerint , a hasonló helyzetű , háromszögek -val szemben levő oldalának megfelelő pontpárja, tehát összekötő egyenesük átmegy -n, a hasonlósági középponton. Így mindig párhuzamos a mozgó pontok pillanatnyi helyzetétől független iránnyal, vagyis azon a félegyenesen mozog, amely -ból indul és párhuzamos -lel (ugyanis miatt , tehát távolodik -tól). Az részhez hasonlóan meg lehet mutatni, hogy bármely pontja harmadol egy olyan szakaszt, melynek végpontjai a mozgó pontok egyidejűen elfoglalt helyzetei; tehát a harmadoló pont mértani helye a félegyenes. Ennek megmutatását az olvasóra hagyjuk. esetén a mértani hely a pont.
Csirmaz László (Budapest, I. István g. I. o. t.) Szűcs András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.) Grósz Tamás (Budapest, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)
Megjegyzés. Az egyenest azzal is jellemezhetjük, hogy pontjaira nézve az , szártól mért távolságok aránya az , , , hasonló derékszögű háromszögekből . Ebben mutatkozik meg az résszel való hasonlóság, ott ugyanis pontjaira az is áll, hogy a két távolság aránya .
3. ábra II. megoldás. Nagyítsuk ki -et és -et -ból kétszeresére, más szóval tekintsük a , háromszöget paralelogrammává kiegészítő , pontot (3. ábra). Ekkor az háromszög középvonala, tehát egyirányúan párhuzamos -gyel. Másrészt az és , valamint és egyenes párok metszéspontját -vel, ill. -vel jelölve a paralelogramma rombusz, mert , ezért a átló felezi az szöget, és így párhuzamos a vele egyállású szög felezőjével. Eszerint az -ből kiindulva -fel párhuzamosan mozog. Az szakasz harmadoló pontját szerkeszthetjük úgy, hogy -n és -n át párhuzamos egyenespárt veszünk ‐ legyen ez és az iménti ‐, ezekre -tól és -től ellentétes irányban felmérünk egy szakaszt, ill. ennek kétszeresét: , ill. , ekkor a végpontok összekötő egyenese kimetszi -t, mert a háromszög -nak kétszeres nagyítása. Hasonlóan és miatt a -ben metszi -et. Azt is mondhatjuk, hogy -t, -et -ból kinagyítottuk a kétszeresére, és a kapott , ill. ponttal adódó , háromszöget a , ill. ponttal paralelogrammává egészítettük ki. Így egyszersmind a szakasz -szorosára nagyítottja az középpontból, tehát . Jelöljük a és , valamint és egyenes párok metszéspontját -vel, ill. -vel, vetületét -n, és -n -vel, ill. -vel, így a paralelogrammában , és mivel és hasonló derékszögű háromszögek, . Eszerint úgy mozog; hogy az állandó , egyenesektől mért távolságainak aránya , pedig a -ból kiindulva -gyel párhuzamosan mozog. (A irányt megadhatja pl. Az paralelogramma átlója is, ahol az száron van, és . ) Mind , mind esetében az olvasóra bízzuk annak bizonyítását, hogy a pálya minden pontját kiadja a mozgó pontpár egy alkalmas helyzete.
Megjegyzés. Hasonlóan lehet megmutatni, hogy a mozgó pontpár közti távolságot tetszés szerinti arányban osztó pont ugyancsak félegyenest ír le. |
|